【步步高】2015届高考数学总复习 7.1不等关系与一元二次不等式课件 理 新人教B版

§7.1不等关系与一元二次不等式数学RB（理）第七章不等式、推理与证明基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．≠、、、≥、≤基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理2．两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b0⇔aba－b＝0⇔aba－b0⇔ab(a，b∈R)；(2)作商法ab1⇔abab＝1⇔abab1⇔ab(a∈R，b0)．＝＝基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理3．不等式的性质(1)对称性：ab⇔ba；(2)传递性：ab，bc⇒；(3)可加性：ab⇔a＋cb＋c，ab，cd⇒a＋cb＋d；(4)可乘性：ab，c0⇒acbc，ab0，cd0⇒acbd；(5)可乘方：ab0⇒anbn(n∈N＋，n1)；(6)可开方：ab0⇒nanb(n∈N＋，n1)．ac基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理4．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理ax2＋bx＋c0(a0)的解集ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}{x|x1xx2}∅∅{x|x∈R}题号答案解析12345B[1,4]基础知识·自主学习A(－5,0)∪(5，＋∞)(1)×(2)√(3)√(4)√(5)×(6)×夯实基础突破疑难夯基释疑题型分类·深度剖析题型一不等式的性质及应用【例1】(1)设ab1，c0，给出下列三个结论：①cacb；②acbc；③logb(a－c)loga(b－c)．其中所有正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③【例1】(1)设ab1，c0，给出下列三个结论：①cacb；②acbc；③logb(a－c)loga(b－c)．其中所有正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③题型分类·深度剖析题型一不等式的性质及应用思维启迪利用不等式的性质进行变形，比较大小时要注意题设条件．解析(1)∵ab1，∴1a1b.又c0，∴cacb，故结论①正确；函数y＝xc(c0)为减函数，又ab，∴acbc，故结论②正确；根据对数函数的单调性，logb(a－c)logb(b－c)loga(b－c)，故③正确．∴正确结论的序号是①②③.D题型分类·深度剖析题型一不等式的性质及应用(2)(2012·四川)设a，b为正实数．现有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b1；②若1b－1a＝1，则a－b1；③若|a－b|＝1，则|a－b|1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)解析①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b为正实数，若a－b≥1，则必有a＋b1，不合题意，故①正确．②中，1b－1a＝a－bab＝1，只需a－b＝ab即可．如取a＝2，b＝23满足上式，但a－b＝431，故②错．③中，a，b为正实数，所以a＋b|a－b|＝1，题型分类·深度剖析题型一不等式的性质及应用(2)(2012·四川)设a，b为正实数．现有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b1；②若1b－1a＝1，则a－b1；③若|a－b|＝1，则|a－b|1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)且|a－b|＝|(a＋b)(a－b)|＝|a＋b|1，故③错．④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1.若|a－b|≥1，不妨取ab1，则必有a2＋ab＋b21，不合题意，故④正确．①④题型分类·深度剖析题型一不等式的性质及应用思维升华判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．跟踪训练1(1)若a＝ln22，b＝ln33，c＝ln55，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac解析易知a，b，c都是正数，ba＝2ln33ln2＝log891，题型分类·深度剖析C所以ba；ac＝5ln22ln5＝log25321，所以ac.即cab.故选C.跟踪训练1(2)若1a1b0，则下列不等式：①1a＋b1ab；②|a|＋b0；③a－1ab－1b；④lna2lnb2中，正确的不等式是()A．①④B．②③C．①③D．②④题型分类·深度剖析解析由1a1b0，可知ba0.①中，因为a＋b0，ab0，所以1a＋b0，1ab0.故有1a＋b1ab，即①正确；②中，因为ba0，所以－b－a0.故－b|a|，即|a|＋b0，故②错误；跟踪训练1(2)若1a1b0，则下列不等式：①1a＋b1ab；②|a|＋b0；③a－1ab－1b；④lna2lnb2中，正确的不等式是()A．①④B．②③C．①③D．②④题型分类·深度剖析③中，因为ba0，又1a1b0，所以a－1ab－1b，故③正确；④中，因为ba0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2a20，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2lna2，故④错误．由以上分析，知①③正确．C题型分类·深度剖析题型二一元二次不等式的解集【例2】求下列不等式的解集：(1)－x2＋8x－30；(2)ax2－(a＋1)x＋10.思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型二一元二次不等式的解集(1)可利用求根公式得到方程－x2＋8x－3＝0的解，再求不等式的解集；【例2】求下列不等式的解集：(1)－x2＋8x－30；(2)ax2－(a＋1)x＋10.思维启迪解析思维升华(2)含参数a，要进行分类讨论．【例2】求下列不等式的解集：(1)－x2＋8x－30；(2)ax2－(a＋1)x＋10.题型分类·深度剖析题型二一元二次不等式的解集解(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝520，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－13，x2＝4＋13.又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－13x4＋13}．思维启迪解析思维升华【例2】求下列不等式的解集：(1)－x2＋8x－30；(2)ax2－(a＋1)x＋10.题型分类·深度剖析题型二一元二次不等式的解集(2)若a＝0，原不等式等价于－x＋10，解得x1.若a0，原不等式等价于(x－1a)·(x－1)0，解得x1a或x1.若a0，原不等式等价于(x－1a)·(x－1)0.①当a＝1时，1a＝1，(x－1a)(x－1)0无解；思维启迪解析思维升华【例2】求下列不等式的解集：(1)－x2＋8x－30；(2)ax2－(a＋1)x＋10.题型分类·深度剖析题型二一元二次不等式的解集②当a1时，1a1，解(x－1a)(x－1)0得1ax1；③当0a1时，1a1，解(x－1a)·(x－1)0得1x1a.综上所述：当a0时，解集为{x|x1a或x1}；思维启迪解析思维升华【例2】求下列不等式的解集：(1)－x2＋8x－30；(2)ax2－(a＋1)x＋10.题型分类·深度剖析题型二一元二次不等式的解集当a＝0时，解集为{x|x1}；当0a1时，解集为{x|1x1a}；当a＝1时，解集为∅；当a1时，解集为{x|1ax1}．思维启迪解析思维升华【例2】求下列不等式的解集：(1)－x2＋8x－30；(2)ax2－(a＋1)x＋10.题型分类·深度剖析题型二一元二次不等式的解集含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．思维启迪解析思维升华跟踪训练2(1)若不等式ax2＋bx＋20的解为－12x13，则不等式2x2＋bx＋a0的解集是________．(2)不等式x－12x＋1≤0的解集为________．解析(1)由题意，知－12和13是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根且a0，题型分类·深度剖析所以－12＋13＝－ba－12×13＝2a，解得a＝－12b＝－2.则不等式2x2＋bx＋a0即2x2－2x－120，其解集为{x|－2x3}．(2)原不等式等价于x－12x＋1≤02x＋1≠0(*)由(*)解得－12x≤1.(－2,3)(－12，1]题型分类·深度剖析题型三不等式恒成立问题【例3】设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范围．思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型三不等式恒成立问题【例3】设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范围．(1)分m＝0和m≠0讨论，m≠0可结合图象看Δ的条件；(2)可分离参数m，利用函数最值求m的范围．思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型三不等式恒成立问题【例3】设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范围．解(1)要使mx2－mx－10恒成立，若m＝0，显然－10；若m≠0，则m0，Δ＝m2＋4m0⇒－4m0.所以－4m≤0.(2)要使f(x)－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即mx－122＋34m－60在x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型三不等式恒成立问题【例3】设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范围．方法一令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]．当m0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒7m－60，所以m67，则0m67；当m＝0时，－60恒成立；当m0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)⇒m－60，所以m6，所以m0.思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型三不等式恒成立问题【例3】设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范围．综上所述：m的取值范围是{m|m67}．方法二因为x2－x＋1＝x－122＋340，又因为m(x2－x＋1)－60，所以m6x2－x＋1.因为函