第二章 第八节

巧记·主干知识突破·重点要点第八节函数模型及其综合应用巧记·主干知识突破·重点要点考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.函数的实际应用问题.2．函数的综合应用问题.1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.主要考查二次函数模型的建立及最值、分段函数、指数函数、对数函数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题.预测高考试题仍将突出函数实际应用题的信息量大的特征，重点考查学生处理问题的能力．所涉及的函数模型将会以二次(三次)函数型、指数型、对勾函数型及分段函数型为主.f（x）＝ax＋bx巧记·主干知识突破·重点要点常见函数模型1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)巧记·主干知识突破·重点要点二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)巧记·主干知识突破·重点要点2.三种函数模型的性质比较y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的单调性单调_____函数单调_____函数单调_____函数增长速度越来越___越来越___相对平稳图象的变化随x值增大，图象与___轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近______随n值变化而不同递增递增递增快慢平行y巧记·主干知识突破·重点要点1．函数的实际应用问题解答函数应用题的一般步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；函数模型的应用巧记·主干知识突破·重点要点(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：巧记·主干知识突破·重点要点2．函数的综合应用问题函数可与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何等数学知识相结合，根据不同知识板块的特点和特殊的对应法则建立不同变量之间的关系，利用函数的单调性、最值等性质，结合函数思想及方法，达到解决其他问题的目的，这也正体现了函数的工具性作用．巧记·主干知识突破·重点要点【名师助学】1．本部分知识可以归纳为(1)五种模型：①一次函数，②二次函数，③指数函数，④对数函数，⑤幂函数．(2)四个步骤：①审题，②建模，③求模，④还原．2．函数模型应用不当是常见的解题错误．所以，正确理解题意，选择适当的函数模型是正确解决这类问题的前提和基础．巧记·主干知识突破·重点要点3．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．4．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．巧记·主干知识突破·重点要点一次函数、二次函数模型（分段函数模型）在现实生活中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数关系，对这类问题，可以构建一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．对这类问题，可以构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．巧记·主干知识突破·重点要点【例1】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？巧记·主干知识突破·重点要点解(1)每吨平均成本为yx(万元)．则yx＝x5＋8000x－48≥2x5·8000x－48＝32，当且仅当x5＝8000x，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低，最低为32万元．巧记·主干知识突破·重点要点(2)设可获得总利润为R(x)万元，则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000＝－x25＋88x－8000＝－15(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1680＝1660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．巧记·主干知识突破·重点要点[点评]二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得．巧记·主干知识突破·重点要点当两变量之间的关系不能用同一个关系式表示，而是由几个不同的关系式构成时，可以构造分段函数模型，先将其作为几个不同问题，将各段的变化规律找出来，再将其合在一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．函数应用问题巧记·主干知识突破·重点要点【例2】在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．巧记·主干知识突破·重点要点(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？[解题指导](1)认真阅读题干内容，理清数量关系．(2)分析图形提供的信息，从图形可看出函数是分段的．(3)建立函数模型，确定解决模型的方法．巧记·主干知识突破·重点要点解设该店月利润余额为L，则由题设得L＝Q(P－14)×100－3600－2000，①由销量图易得Q＝－2P＋50（14≤P≤20），－32P＋40（20P≤26），代入①式得L＝（－2P＋50）（P－14）×100－5600（14≤P≤20），－32P＋40（P－14）×100－5600（20P≤26），巧记·主干知识突破·重点要点(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；当20P≤26时，Lmax＝12503元，此时P＝613元，故当P＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20，即最早可望在20年后脱贫．巧记·主干知识突破·重点要点[答题模板]解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义．第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．巧记·主干知识突破·重点要点[温馨提醒]本题经过了三次建模：①根据月销量图建立Q与P的函数关系；②建立利润余额函数；③建立脱贫不等式.