第二章 系统的数学模型(2011第5讲)

复习上一讲内容2.2系统的传递函数1、传递函数的提出2、拉氏变换的预备知识⑴、拉氏变换与拉氏反变换⑴拉氏变换⑵拉氏反变换⑵、常用函数的拉氏变换⑶、拉氏变换的主要运算定理3、用拉氏变换求解线性微分方程的方法和步骤4、传递函数的定义5、传递函数特点6、传递函数的零、极点和放大系数及其对系统性能的影响第5讲石家庄铁道学院机械工程分院石家庄铁道学院机械工程分院第二章系统的数学模型2.2系统的传递函数7、典型环节的传递函数系统是由若干典型环节组成的，系统的传递函数总可以化为零阶、一阶、二阶的一些常见的典型环节。若设K为系统比例系数，且系统有b个实零点；c对复零点；d个实极点，e对复极点，ν个零极点，τ为时间常数，ξ为阻尼比，则其传递函数的一般表达式分别为：djekkkkjbicllllisssssssKsG11221122)12()1()12()1()(石家庄铁道学院机械工程分院其中，典型环节分别有：一阶微分环节：1)(ssGi纯微分环节：ssG)(二阶微分环节：12)(22sssGlll纯积分环节：ssG1)(一阶积分环节(也称一阶惯性环节)：11)(ssGj二阶积分环节(也称振荡环节)：121)(22sssGkkk延迟环节：sesG)(KsG)(比例环节：凡输出量与输入量成正比，输出不失真也为延迟而按比例地反映输入的环节称之为比例环节，其动力学方程为：石家庄铁道学院机械工程分院下面分别介绍典型环节的传递函数①比例环节（放大环节）)()(0tKxtxi其传递函数为：KsXsXsGi)()()(0若输入、输出的量纲相同，则K为放大系数。常见的分压器、交流变压器、线性放大器、杠杆、无间隙的传动齿轮组等均属比例环节。其中，，txi)()(0tx分别为系统的输入和输出。石家庄铁道学院机械工程分院如对齿轮，转速分别为,,21nn齿数分别为21,ZZ的齿轮系统，由于有：2211nZnZ故有变换)()(2111sNZsNZ2112)()()(ZZsNsNsG传递函数：石家庄铁道学院机械工程分院可得其传递函数为：KRRsUsUsGi120)()()(例1图2.2.2所示为运算放大器，显然其输入电压)(tui与输出电压)(0tu关系：)()(120tuRRtui之间有如下输入为阶跃信号时，比例环节的输入、输出响应曲线如右图2.2.3所示。石家庄铁道学院机械工程分院②一阶惯性环节)()()(00tKxtxdttdxTi该环节称为一阶惯性环节，其传递函数为：1)(TsKsG上式中，K为放大系数，T为惯性环节的时间常数。惯性环节的方框图如右所示。)(sXi)(0sX图2.2.1一阶惯性环节1TsK一阶微分方程的动力学方程为：石家庄铁道学院机械工程分院idtCtuidtCiRtui1)(1)(0消去中间变量得：)()()(00tutudttduRCi经拉氏变换后得：)()()(00sUsUsRCsUi故传递函数为：1111)()()(0TsRCssUsUsGi上式中，RCT为惯性环节的时间常数。例2图2.2.5为无源滤波网络，)(),(0tutui分别为输出、输入电压，i为电流，R为电阻，C为电容。根据克希荷夫定律：石家庄铁道学院机械工程分院在阶跃输入作用下，系统输入函数为0,1)(ttx其拉氏变换为ssX1)(,由此得到系统输出量为：TssTssTTsssXsGsY111)1(1)1(1)()()(对上式进行反拉氏变换后得：0,1)(tetyTt它是一条按指数变化的曲线，如图2.2.6(a)。系统传函在s平面上极点如图2.2.6(b)。石家庄铁道学院机械工程分院从图可以看出，系统输出上升过程是非周期性的，因而惯性环节也叫非周期环节。除此以外，炉子、测温用的热电偶、弹性弹簧以及发电机等均属于惯性环节。惯性环节特点：存在储能元件输出量落后于输入量，不能立即复现突变的输入。石家庄铁道学院机械工程分院③微分环节微分环节的特点是输出量与输入量的导数成比例关系。按方程的不同，有三种微分环节：纯微分环节（理想微分环节）、一阶微分环节（也叫比例加微分环节）和二阶微分环节。其微分方程分别为：0),()(2)()(0),()()(0),()(2000ttxtxtxKtxttxtxKtxttxKtxiiiiii相应的传递函数分别为：12)(1)()(22ssKsGsKsGKssG石家庄铁道学院机械工程分院显然，微分环节的传递函数只有零点而无极点。纯微分环节的零点为零，一阶微分环节和二阶微分环节的零点分别为实数和一对共轭复数（或两个实数）。由于微分环节的输出量与输入量对时间的各阶导数有关，因此它能预示输入信号的变化趋势，使控制过程具有预见性，使我们有可能对系统提前施加校正作用，而提高了控制质量。石家庄铁道学院机械工程分院例3下图2.2.7为微分运算电路),()(,)(10tiRtudtduCtii)()(1titi故系统的微分方程为：dttduCRtui)()(10传递函数为：CsRsUsUsGi10)()()(由图可列出如下方程：石家庄铁道学院机械工程分院微分环节的控制作用分析ⅰ：使输出提前若对其输入一个斜坡函数)0(,)(tttr则得)0(,)()(01ttKtrKtxpp当1pK时，在时域中此环节为一条450斜线。如右图所示：，KsGp)(1)()(01txKtxip对比例环节,)(2TsKsGp若对此环节再并联一个微分环节单位斜坡函数：unitramp单位阶跃函数：unitstep石家庄铁道学院机械工程分院当1pK时，TssG)(2，sG1)(1由于并联了该微分环节而增加的输出为：)()()]([)]()([)(12102tTutrTsTsRLsRsGLtx因1)(tu,故微分环节增加的输出为：Ttx)(02它使原输出曲线向左平移了T，如下图2.2.8所示。则系统传递函数为：)1()()()(0TsKTsKKsXsXsGpppi图2.2.8石家庄铁道学院机械工程分院ⅱ：增加系统的阻尼如上图所示,原系统的传递函数为：(a)图+-)1(TssKpKsTKdp++)(sXi)(0sX图2.2.9微分环节增加系统阻尼(b)图+-)1(TssK)(sXi)(0sX)1(sTKdpKKsTsKKTssKKTssKKsGpppp21)1(1)1()(石家庄铁道学院机械工程分院系统的比例环节并联微分环节后，其传递函数如下：KKKTKsTssTKKTsssTKKTsssTKKsGpdpdpdpdp)1()1()1()1(1)1()1()(22比较上述两式可知，它们都是二阶系统的传递函数。二阶系统的传递函数中，其分母中s的系数与系统的阻尼有关。环节后，系统的阻尼增加。（系统的阻尼将在下面的振荡环节部分进行介绍）)(1sG分母中s的系数为1，因并联了微分环节，)(2sG分母中s的系数改变为1dpKTK大于1，故并联微分石家庄铁道学院机械工程分院ⅲ：在强化激励作用的同时也强化了噪声的作用因微分环节对输入能进行预测，但它对输入的噪声也非常灵敏，从而加大了因噪声而引入的误差。石家庄铁道学院机械工程分院所谓积分环节，是指该环节的输出正比于输入的积分。即：dttxTtxti00)(1)(,其传递函数为：sKTssXsXsGi1)()()(0式中，T为积分环节的时间常数。则20111)()()(TssTssGsXsXi，经拉氏反变换得：tTtx1)(0)()(tutxi，ssXi1)(当输入为单位阶跃信号时，④积分环节石家庄铁道学院机械工程分院积分环节的特点是:其输出量是输入量对时间的累积，输出呈线性增长,如下图2.2.10示。对输入的阶跃信号,输出要在t=T时才能等于输入，故该环节对输入信号有滞后作用，从而改善了系统的稳态性能。另外，经过一段时间的累积后，输入变为零时，积分停止，输出量不再增加，但保持该值不变，故积分环节具有记忆功能（如对电容充电）。系统中有储能或积累特点的元件，都具有积分环节的特性。石家庄铁道学院机械工程分院dttduCRtui)()(0故其传递函数为：,)()()(0sksUsUsGi式中，RCk1)(tui，输出电压为)(0tu，R为电阻，C为电容。例4图2.2.11所示为有源积分网络，输入电压为由图可得：石家庄铁道学院机械工程分院⑤振荡环节振荡环节是二阶环节，若系统微分方程为：)()()(2)(002022tKxtxdttdxTdttxdTi则有其拉氏变换的一般型：12)(22TssTKsGK为放大系数。我们一般考查K等于1的情形，此时振荡环节可以写成：121)(22TssTsG令nT1，传递函数变为：2222)(nnnsssG式中，T为振荡环节的时间常数，为阻尼比，n为无阻尼固有频率。石家庄铁道学院机械工程分院当0ξ1时，传递函数的极点是一对共轭复数，从而使系统输出发生振荡。而且，阻尼比ξ越小，振荡越激烈。由于存在损耗元件，导致振荡逐渐衰减，有关内容我们将在后面的部分作进一步介绍。振荡环节的特点是环节中含有两种不同能量形式的储能元件，两者之间不断地进行能量交换，致使输出量呈现出振荡的性质。图2.2.12石家庄铁道学院机械工程分院在阶跃信号)(1)()(ttutxi的作用下，ssXi1)(振荡环节输出量的拉氏变换为：)2()()()(2220nnnissssXsGsX取拉氏反变换得到输出量的时域响应为：0),1arctan1sin(11)(2220ttetxntn石家庄铁道学院机械工程分院0),1arctan1sin(11)(2220ttetxntn对二阶环节作阶跃输入时，输出有两种情况,如图2.2.12所示：①当0≤ξ1时，输出为一衰减振荡过程，此时二阶环节即为振荡环节；②当ξ≥1时，输出为一指数上升曲线而不振荡，最后达到常值输出。此时，该二阶环节不是振荡环节，而是两个一阶惯性环节的组合。这说明振荡环节是二阶环节，但二阶环节不一定是振荡环节。石家庄铁道学院机械工程分院例5如图2.2.13所示为L-R-C电路。由克希荷夫定律，有：)()()(0tudttdiLtuLidttiCtRituCR)(1)()(0)()()(tititiRCL微分方程为：)()()()(000tututuRLtuLCi,传递函数为：，sRLLCssUsUsGi11)()()(20令RLRRCn21,1则传递函数变为：2222)(nnnsssG石家庄铁道学院机械工程分院延迟环节又称时滞环节、滞后环节或时延环节,特点是输出量经过一段延迟时间后完全复现输入信号,即：sisiiiiesXesXtxLtxLtxLtxLsG)()()]([)]([)]([)]([)(0（注：延时环节与惯性环节的区别）液压、气动系统中，由于管长而延缓了信号传递的时间，因而出现了延时环节。⑥延迟环节,式中，为延迟时间。延时环节也是线性环节，符合叠加原理。根据拉氏变换的延时定理，可得延时环节的传递函数：)()(0txtxi石家庄铁道学院机械工程分院本讲内容小结2.2系统的传递函数7、典型环节的传递函数①比例环节（放大环节）②一阶惯性环节③微分环节④积分环节⑤振荡环节⑥延迟环节石家庄铁道学院机械工程分院作业题：1、微分环节的控制作用有哪些？2、熟悉常见典型环节类型及其传递函数。