测量-第六章 测量误差的基本知识 (1)

1第六章测量误差的基本知识土木工程测量对未知量进行测量的过程，称为观测。测量所获得的数值称为观测值。进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种差异称为测量误差或观测误差。§6.1观测误差来源及其分类6.1.1观测及观测误差用Li代表观测值，X代表真值，则有Δi=Li-X(6-1)式中Δi就是观测误差，通常称为真误差，简称误差。一般情况下，只要是观测值必然含有误差。观测误差来源于三个方面（观测条件）：①观测者视觉鉴别能力和技术水平；②仪器、工具的精密程度；③观测时外界条件的好坏。观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。§6.1观测误差来源及其分类6.1.2观测误差的来源一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚至趋近于零。在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的误差。根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差§6.1观测误差来源及其分类6.1.3观测误差的分类及其处理方法1、系统误差——符号和大小保持不变或按一定规律变化。系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。尽量设法消除和减小系统误差，方法有：①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统误差的影响。②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的改正。③将系统误差限制在允许范围内。如，经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水平角的影响，将其影响减小到允许范围内。2、偶然误差——在一定的观测条件下，对某量进行一系列观测时，符号和大小均不一定。§6.1观测误差来源及其分类6.1.3观测误差的分类及其处理方法产生原因：不固定的和难以控制的。如观测者的估读误差、照准误差等；不断变化着的温度、风力等外界环境也会产生偶然误差。偶然误差是不可避免的，并且是消除不了的。它在消除了一定的系统误差的观测值中占主导地位。从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。例如某一测区在相同观测条件下观测了368个三角形的全部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于真值180°(表6-1)§6.1观测误差来源及其分类6.1.3观测误差的分类及其处理方法负误差正误差合计误差区间dΔ个数k频率k/n个数k频率k/n个数k频率k/n0″～3″3″～6″6″～9″9″～12″12″～15″18″～21″21″～24″24″4540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.01104641332116135200.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.006091816644332611600.2540.2270.1840.1230.0920.0720.0310.0170∑1810.5051770.4953581.00规律：小误差比大误差出现的频率高；绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率相近；最大误差不超过24″。§6.1观测误差来源及其分类6.1.3观测误差的分类及其处理方法统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性：特性1在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。(有界性)特性2绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。(大小性)特性3绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(对称性)特性4当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为0，即(抵偿性)本章此处及以后“[]”表示取括号中下标变量的代数和，即∑Δi=[Δ]0limlim21nnnnn§6.1观测误差来源及其分类6.1.3观测误差的分类及其处理方法图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表的数据，以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间dΔ的比值为纵坐标，如图所示。——频率直方图。可以设想，当误差个数n→∞，同时又无限缩小误差区间dΔ，图中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线。该曲线称为误差分布曲线。§6.2观测量的估计及精度评定在相同观测条件下，对某一量所进行的一组观测，对应着同一种误差分布，因此，这一组中的每一个观测值，都具有同样的精度。为了衡量观测值的精度高低，显然可以用前一节方法，绘出频率直方图或误差分布表加以分析来衡量。但这样做实际应用十分不便，又缺乏一个简单的关于精度的数值概念。这个数值应该能反映误差分布的密集或离散程度，即应反映其离散度的大小，作为衡量精度的指标。§6.2观测量的估计及精度评定6.2.1中误差在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中定义中误差m作为衡量精度的一种标准：1、真值已知2、真值未知nm][Δi=Li-XXLXnLin][真误差：观测值与真值之差：i][1][nvvmv=l-LXLnlim§6.2观测量的估计及精度评定6.2.2相对误差中误差和真误差都是绝对误差。在衡量观测值精度时，单纯用绝对误差有时不能完全表达精度的优劣。例如，分别测量了长度为100m和200m的两段距离，中误差皆为±0.02m。显然不能认为两段距离测量精度相同。为了客观地反映实际精度，必须引入相对误差的概念。相对误差K是中误差m的绝对值与观测值D的比值：||1||mDDmK§6.2观测量的估计及精度评定6.2.3极限误差和容许误差⑴极限误差由偶然误差的特性1可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这就是极限误差。⑵容许误差测量实践中，是在极限误差范围内利用容许误差对偶然误差的大小进行数量限制的。在实际应用的测量规范中，常以2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差，即Δ容≈2m或Δ容≈3m如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。工程测量学5测量误差的基本知识§5.3误差传播定律前面叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测量工作中通常以中误差作为衡量精度的指标。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。例如，欲测量不在同一水平面上两点间的距离D，可以用光电测距仪测量斜距S，并用经纬仪测量竖直角α，以函数关系D=Scosα来推算。显然，在此情况下，函数D的中误差与观测值S及α的中误差之间，必定有一定的关系。阐述这种函数关系的定律，称为误差传播定律。设有一般函数Z=f(X1,X2,…，Xn)(5-17)式中X1、X2、…，Xn为可直接观测的未知量；Z为不便于直接观测的未知量。其中函数Z的中误差为mZ，各独立变量X1、X2，…Xn对应的观测值中误差分别为m1,m2,…mn，如果知道了mz与mi之间的关系，就可由各变量的观测值中误差来推求函数的中误差。各变量的观测值中误差与共函数的中误差之间的关系式，称为误差传播定律。Z=f(X1,X2,…，Xn)(5-17)工程测量学5测量误差的基本知识§5.3误差传播定律设xi(i=1、2、……、n)的独立观测值为li,其相应的真误差为Δxi。由于Δxi的存在，使函数Z亦产生相应的真误差ΔZ。将(5-17)取全微分因误差Δxi及ΔZ都很小，故在上式中，可近似用Δxi及ΔZ代替dx及dz，于是有nndxxFdxxFdxxFdz2211nnxxFxxFxxFz2211式中为函数f对各自变量的偏导数。将xi=li代入各偏导数中，即为确定的常数，设ixFilxxFfiii则上式可写成ΔZ=f1Δx1+f2Δx2+……+fnΔxn为了求得函数和观测值之间的中误差关系式，设想对各xi进行了k次观测，则可写出k个类似上式的关系式ΔZ=f1Δx1+f2Δx2+……+fnΔxn工程测量学5测量误差的基本知识§5.3误差传播定律)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2()1()1(22)1(11)1(knnkkknnnnxfxfxfzxfxfxfzxfxfxfz将上式各式等号两边平方后，再相加，得njijijijinnxxffxfxfxfz,1,22222221212上式两端各除以knjijijijinnkxxffkxfkxfkxfkz,1,22222221212工程测量学5测量误差的基本知识§5.3误差传播定律设对各xi的观测值li为彼此独立的观测，则ΔxiΔxj当i≠j时，亦为偶然误差。根据偶然误差的特性4可知，上式末项当k→∞时趋近于零，即故njijijijinnkxxffkxfkxfkxfkz,1,222222212120limkxxkji)(lim22222221212limkxfkxfkxfkznnkk根据中误差（标准差）的定义（5-5)，上式可写成22222221212nnzfff当k为有限值时，可写为：22222221212nnzmfmfmfm§6.3误差传播定律及应用上式即为计算函数中误差的一般形式。应用上式时，必须注意：各观测值是相互独立的变量。利用它可导出表所列简单函数的误差传播公式：2222221221nxfxfxfzmmmmn最或然值的中误差设对某量进行n次等精度观测，观测值为l1,l2,…，ln,中误差为m。最或然值x的中误差M的计算公式推导如下：根据误差传播定律，有：nnnnnllllx12111][221221221)()()(mmmMnnn所以)1(][nnvvMnmM§6.3误差传播定律及应用§6.4加权平均值与中误差不等精度观测值的可靠性，可用称为观测值“权”的数值来表示。“权”是权衡轻重的意思，观测值的精度愈高，其权愈大。例如，对某一未知量进行了两组不等精度观测，但每组内各观测值是等精度的。设第一组观测了4次，其观测值为l1、l2、l3、l4；第二组观测了3次，观测值为l1’、l2’、l3’。这些观测值的可靠程度都相同，每组分别取算术平均值作为最后观测结果，即32'3'2'1lllL414321llllL对于观测值L1、L2来说，彼此是不等精度观测，故最后结果应为：3434721'3'2'14321LLlllllllL权只有相对意义，起作用的不是其绝对值，而是其比值，权通常用字母p表示，且恒取正值。§6.4加权平均值与中误差一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的观测条件。观测值的中误差愈小，其值愈可靠，权就愈大。因此，也可根据中误差来定义观测值的权。1权与中误差的关系设n个不等精度观测观测值的中误差分别为m1，m2，…mn，则权可以用下式来定义：其中λ可取为任意正常数。22221,,21nmnmmppp前面所举的例子，l1、l2、l3、l4和l1’、l2’、l3’是等精度观测，则第1组的算术平均值L1的中误差m1可以得：mm411同理，可得第2组算术平均值L2的中误差为：mm312§6.4加权平均值与中误差在式(6-42)中分别代入m1和m2，得：1权与中误差的关系式中λ为任意常数。设λ=m2,则L1、L2的权为权与中误差的平方成反比。任意选择λ值，可以使权变为便于计算的数值。L1：3222412221mmmmppL2：p1=4,p2=3§6.4加权平均值与中误差设对同一未知量进行了n次非等精度观测，观测值为l1、l2、…、ln，其相应的权为p1、p2、……、pn，则加权算术平均值L0为非等精度观测值的最或是值(最可靠值)，其计算公式可