对流扩散方程

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资源描述

4:对流扩散方程题:对流扩散方程的初值问0,)()0,(0,22xxfxutxxuxuatu4.1、中心显式差分格式21111122huuuhuuauunjnjnjnjnjnjnj时,格式才稳定。只有程的古典显式格式,时,格式是近似扩散方无条件不稳定格式;当格式为近似对流方程的时,,而且当其截断误差为:2100)(2arahOE格式改写成:设下面讨论稳定性:,,2hhar)2()(2111111njnjnjnjnjnjnjuuuuuruuwhirwhrGsin)cos1(21),(增长因子为:)cos1()cos1(44)cos1(1)cos1(4)cos1(41sin),(2222222whrwhwhwhrwhwhrrG0)cos1()cos1(440cos1,122whrwhwhG,条件转化为:由于只需验证0)cos1)(4(2-4222whrr即0)4(224,024,1,02cos12222rrrwh上述不等式转化为由于格式稳定的条件。此两不等式为中心显式代入,即得条件:将2h,2,2221arr442222xuhtu为:中心显格式的截断误差22233442222xuaxuaxutut求导有:同时对充分光滑,对方程两边假设对流扩散方程的解4.2:修正中心差分格式442334422224422223344222222xuhxuaxuxuaxuhxuaxuaxu)()(以改写为:于是方程的截断误差可22220xuaxuatu)(方程相容:时,差分格式与下面的不趋近于由此有当得到如下差分格式:。这样散的系数为在相应的扩散项增加扩失,为了减少扩散效应的损格式是绝对不稳定的,心对于流方程,而此时中时,中心差分格式相容损失,特别在于是导致了扩散效应的的固定常数,是一不为然而在数值计算的时候222020aa2112111222huuuahuuauunjnjnjnjnjnjnj)(2121h22)(中心差分格式,显然有稳定性分析完全类似于ha4.3:迎风差分格式式:稳定的,故考虑迎风格式格式转化为绝对不化为对流方程,中心显方程(极限情况)时,微分不合适,当得只能取得很小,格式显很小时,不变,稳定性条件中,当在中心显式差分格式的0G)0(221111ahuuuhuuauunjnjnjnjnjnjnj)0(,)21()(111auururunjnjnjnj即:hirhrGsin)cos1)(2(1其增长因子)cos1)()2((2)2(2)cos1(1))cos1)(2(1(sin2222222hrrrrhhrhrG0)cos1)()2((2)2(2,1222hrrrrG要求:相当于充要条件是类似的迎风格式稳定的0)2(22)2(202)2(2,2,0cos12222)(和条件化为:由于rrrrrrh0)2(10))2(1)(2(2))2((22)2(2222rrrrrrr而自然成立。),(,此时有即22112rrrrahh22条件是所以迎风格式的稳定性haha202条件是时,情况类似,稳定性当也可以利用中心显格式来讨论稳定性,于是将上面格式改为:2111112)2(2huuuhahhuuauunjnjnjnjnjnjnj是,则变为中心格式,于取2ahvv)2(,21)1(,222hvva通过简单的推导,可以发现第一个稳定条件可以由第2个条件推出,于是迎风格式的稳定条件就是(2).4.4:Samarskii格式haxuRxuatu21R1122其中Samarskii格式是具有迎风效应的关于空间的二阶格式,为了简单方便,设a0,先对方程作扰动,得到另外一对流扩散方程对上面的方程构造迎风格式21111211huuuRhuuauunjnjnjnjnjnjnj称为逼近对流扩散方程的Samarskii格式.2111211121112huuuRhuuahuuuuunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj)(由Taylor公式可以得到)()(1)()()()(2222222hOxuRRxuahOxutunjnjnjnjnjnj)(于是截断误差有2hO212122hahah此格式的稳定性条件:分析,可以得到类似迎风格式的稳定性4.5:指数型差分格式。,其中为其解析解考虑定常对流扩散方程axadeuxuxuadx2122,hjadeuhjadeuhjjhjj)1()1(2)1(112)1(11对空间进行剖分,有)()(,并且代入解析解得:,可以求解1111121hhhjhjjeaehdeueuu2111121122huuueeahhuuadjjjhhjj改写为上式通过恒等变形可以21111121122huuueeahhuuauudnjnjnjhhnjnjnjnj差分格式,得到对流扩散方程的用时间差商代替)()(取2coth2coth112222ahheeeeeehhhhhh)(其中2coth222211111ahahhuuuhuuauunjnjnjnjnjnjnj)。(截断误差为2hO212h出稳定性条件:与中心显格式比较可得考虑迎风格式、指数格式、samarskii格式的关系,首先改写指数格式如下:21111212huuueahhuuauunjnjnjhnjnjnjnj特殊形式。种格式全是指数格式的格式,于是这,则可以得到)(如果,可以得到迎风格式。充分小,取22112Samarskiihhehehhh4.6:隐式格式格式。定性的要求,考虑隐式为了提高精度,降低稳型格式:nicolsonCrank)22(2)22(22111112111111111huuuhuuuhuuhuuauunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj格式可改写成:令,,2hhar)2(2)2(2)2(2)2(211111111111111njnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjuuuuuruuuuuuru且处展开,知将各项在),(2221hOEnjhrihhrihhrihhrihGsin2)2sin21(sin2)2sin21(sin2)cos1(sin2)cos1(221sin4)2sin21(sin4)2sin21(222222222hrhhrhG格式是无条件稳定的。4.7:特征差分方法散项的数值方法。性好、适合于小系数扩、稳定。所以就要构造精度高有明显双曲方程的特性流占优,方程,此时的方程是对数的扩散项的对流扩散系用领域,经常遇到含小在工程力学或者其他应

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