对流扩散方程

4:对流扩散方程题：对流扩散方程的初值问0,)()0,(0,22xxfxutxxuxuatu4.1、中心显式差分格式21111122huuuhuuauunjnjnjnjnjnjnj时，格式才稳定。只有程的古典显式格式，时，格式是近似扩散方无条件不稳定格式；当格式为近似对流方程的时，，而且当其截断误差为：2100)(2arahOE格式改写成：设下面讨论稳定性：,,2hhar)2()(2111111njnjnjnjnjnjnjuuuuuruuwhirwhrGsin)cos1(21),(增长因子为：)cos1()cos1(44)cos1(1)cos1(4)cos1(41sin),(2222222whrwhwhwhrwhwhrrG0)cos1()cos1(440cos1,122whrwhwhG，条件转化为：由于只需验证0)cos1)(4(2-4222whrr即0)4(224,024,1,02cos12222rrrwh上述不等式转化为由于格式稳定的条件。此两不等式为中心显式代入，即得条件：将2h,2,2221arr442222xuhtu为：中心显格式的截断误差22233442222xuaxuaxutut求导有：同时对充分光滑，对方程两边假设对流扩散方程的解4.2:修正中心差分格式442334422224422223344222222xuhxuaxuxuaxuhxuaxuaxu）（）（以改写为：于是方程的截断误差可22220xuaxuatu）（方程相容：时，差分格式与下面的不趋近于由此有当得到如下差分格式：。这样散的系数为在相应的扩散项增加扩失，为了减少扩散效应的损格式是绝对不稳定的，心对于流方程，而此时中时，中心差分格式相容损失，特别在于是导致了扩散效应的的固定常数，是一不为然而在数值计算的时候222020aa2112111222huuuahuuauunjnjnjnjnjnjnj）（2121h22）（中心差分格式，显然有稳定性分析完全类似于ha4.3:迎风差分格式式：稳定的，故考虑迎风格式格式转化为绝对不化为对流方程，中心显方程（极限情况）时，微分不合适，当得只能取得很小，格式显很小时，不变，稳定性条件中，当在中心显式差分格式的0G)0(221111ahuuuhuuauunjnjnjnjnjnjnj)0(,)21()(111auururunjnjnjnj即：hirhrGsin)cos1)(2(1其增长因子)cos1)()2((2)2(2)cos1(1))cos1)(2(1(sin2222222hrrrrhhrhrG0)cos1)()2((2)2(2,1222hrrrrG要求：相当于充要条件是类似的迎风格式稳定的0)2(22)2(202)2(2,2,0cos12222）（和条件化为：由于rrrrrrh0)2(10))2(1)(2(2))2((22)2(2222rrrrrrr而自然成立。），（，此时有即22112rrrrahh22条件是所以迎风格式的稳定性haha202条件是时，情况类似，稳定性当也可以利用中心显格式来讨论稳定性,于是将上面格式改为:2111112)2(2huuuhahhuuauunjnjnjnjnjnjnj是，则变为中心格式，于取2ahvv)2(,21)1(,222hvva通过简单的推导,可以发现第一个稳定条件可以由第2个条件推出,于是迎风格式的稳定条件就是(2).4.4:Samarskii格式haxuRxuatu21R1122其中Samarskii格式是具有迎风效应的关于空间的二阶格式,为了简单方便,设a0,先对方程作扰动,得到另外一对流扩散方程对上面的方程构造迎风格式21111211huuuRhuuauunjnjnjnjnjnjnj称为逼近对流扩散方程的Samarskii格式.2111211121112huuuRhuuahuuuuunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj）（由Taylor公式可以得到)()(1)()()()(2222222hOxuRRxuahOxutunjnjnjnjnjnj）（于是截断误差有2hO212122hahah此格式的稳定性条件：分析，可以得到类似迎风格式的稳定性4.5:指数型差分格式。，其中为其解析解考虑定常对流扩散方程axadeuxuxuadx2122,hjadeuhjadeuhjjhjj)1()1(2)1(112)1(11对空间进行剖分，有）（）（，并且代入解析解得：，可以求解1111121hhhjhjjeaehdeueuu2111121122huuueeahhuuadjjjhhjj改写为上式通过恒等变形可以21111121122huuueeahhuuauudnjnjnjhhnjnjnjnj差分格式，得到对流扩散方程的用时间差商代替）（）（取2coth2coth112222ahheeeeeehhhhhh）（其中2coth222211111ahahhuuuhuuauunjnjnjnjnjnjnj）。（截断误差为2hO212h出稳定性条件：与中心显格式比较可得考虑迎风格式、指数格式、samarskii格式的关系，首先改写指数格式如下：21111212huuueahhuuauunjnjnjhnjnjnjnj特殊形式。种格式全是指数格式的格式，于是这，则可以得到）（如果，可以得到迎风格式。充分小，取22112Samarskiihhehehhh4.6:隐式格式格式。定性的要求，考虑隐式为了提高精度，降低稳型格式：nicolsonCrank)22(2)22(22111112111111111huuuhuuuhuuhuuauunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj格式可改写成：令,,2hhar)2(2)2(2)2(2)2(211111111111111njnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjuuuuuruuuuuuru且处展开，知将各项在),(2221hOEnjhrihhrihhrihhrihGsin2)2sin21(sin2)2sin21(sin2)cos1(sin2)cos1(221sin4)2sin21(sin4)2sin21(222222222hrhhrhG格式是无条件稳定的。4.7:特征差分方法散项的数值方法。性好、适合于小系数扩、稳定。所以就要构造精度高有明显双曲方程的特性流占优，方程，此时的方程是对数的扩散项的对流扩散系用领域，经常遇到含小在工程力学或者其他应