2011高中数学精品复习课件：合情推理与演绎推理

(1)了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用;了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理;了解合情推理和演绎推理之间的联系与差异.(2)了解直接证明的两种基本方法(分析法与综合法)以及间接证明的一种基本方法(反证法);了解这三种证明方法的思考过程、特点.(3)理解复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数表示法及其几何表示;会进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.本章是高中数学中基础性的一章,其中推理与证明是数学的基本思维过程,是人们经常使用的思维方式.在高考中,归纳推理、分析与综合证明方法仍是高考的主要命题方向.而近年来高考对复数的要求较低,考查难度降低,题量减少,主要是化简、求模等计算题，常以选择题、填空题形式出现，难度为容易题.预测2011年对复数的考查还是以容易题为主,考查基本概念与运算,而对推理与证明,一方面要关注客观题中对推理的考查,另一方面则必须重视分析法,综合法以及反证法在解决综合题中的作用.1.数列3,5,9,17,x,65,…的x等于（）A.30B.31C.32D.33设该数列的通项为an,由前四项的规律知：an=2n+1，故选D.易错点：不能正确通过观察发现规律而产生错误.D2.在等差数列{an}中，若m+n=2p（m、n、p∈N*），则am+an=2ap成立.类似地，在等比数列中，若m+n=2p（m、n、p∈N*），则有（）A.am+an=2apB.am·an=2apC.am±an=D.am·an=ap2可用检验法进行排除.2paD3.把偶数数列{2n}的各项从小到大依次排成如图所示的三角形数表,记M（r,t）表示该表中第r行的第t个数,则表中的数2008对应于（）AA.M（45,14）B.M（45,24）C.M（46,14）D.M（46,15）由1+2+3+…+n=1004，得因为44×45=1980,45×46=2070.所以2008为第45行的数,又1004－990=14.即2008为第14个数.选A.易错点：不能选择正确的解题方法产生错误.12nn（）1004,4.给出下列三个类比猜想：①若a、b为实数,且a·b=0,则a、b至少有一个数为0.类比得猜想：对向量a、b，若a·b=0，则a、b中至少有一个向量为0.②在平面内,垂直于同一条直线的两直线互相平行.类比得猜想：在空间中,垂直于同一个平面的两个平面互相平行.③在平面内过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线垂直.类比得猜想：在空间中,过直线外一点,有且只有一个平面与已知直线垂直.在这三个类比猜想中,正确猜想的个数有个.①由于当a⊥b时，a·b=0,所以猜想①不正确.又垂直于同一个平面的两个平面可能平行也可能相交.故猜想②不正确.15.已知凸n边形(n≥3)的对角线有f(n)条,由f(3)=0,f(4)=2,f(5)=5,f(6)=9,可以猜想f(n)=.(3)2nn－根据一个或几个已知判断（事实或假设）得出一个新的判断的思维过程叫推理.推理一般由两部分组成：前提和结论.推理一般分合情推理和演绎推理两大类.1.合情推理包括归纳推理和类比推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这样的特征的推理,或由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,它是一种由局部到整体,由特殊到一般的推理.对于一些复杂的问题,一般尝试从简单情形入手进行归纳猜想.(2)类比推理：由两类对象具有某些特征和由其中一类的某些已知特征推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.这是一种由特殊到特殊的推理.2.演绎推理：从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论.它是由一般到特殊的推理.三段式推理是演绎推理的主要方法,掌握其书写的基本模式,并注重先用合情推理发现,再用演绎推理论证的数学模式.重点突破：归纳推理已知F1、F2分别是双曲线=1的左、右两个焦点,点M在双曲线上.(Ⅰ)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积.(Ⅱ)若∠F1MF2=120°,求△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=60°,求△F1MF2的面积又是多少?(Ⅲ)观察以上计算结果,你能看出随着∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化的?例12249xy－因为S△F1MF2=|MF1|·|MF2|sinθ,所以只需求出|MF1|·|MF2|即可,这可根据余弦定理及双曲线的定义求得.12(Ⅰ)由双曲线的方程知:a=2,b=3,c=,设|MF1|=m,|MF2|=n,则|m－n|=4.所以(m－n)2=16,即m2+n2－2mn=16.又因为∠F1MF2=90°,所以m2+n2=(2c)2=52.mn=(m2+n2－16)=(52－16)=18.所以S△F1MF2=mn=9.13121212(Ⅱ)若∠F1MF2=120°,则在△F1MF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=m2+n2-2mncos120°,即()2=(m-n)2+2mn-2mncos120°.所以52=16+2mn+mn,mn=12.所以S△F1MF2=12mnsin120°=.同理,当∠F1MF2=60°时,S△F1MF2=.2133393(Ⅲ)由以上结果可看出:随着∠F1MF2的增大,△F1MF2的面积在减小.归纳推理是合情推理中的一种,它可以分为完全归纳与不完全归纳.本题使用的是不完全归纳.归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的命题就越可靠.已知数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2),而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an等于（）A.B.C.D.因为1+a2=4a2,a2=,1+a3=,1+++a4=16a4,a4=,代入检验知选变式练习122(1)n2(1)nn221n－221n－B1313+a3=9a3,161316110B.重点突破：类比推理已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn，数列{an}有如下性质:①通项an=am+(n-m)d;②若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m、n、p、q∈N*);③am、am+k、am+2k(k∈N*)构成等差数列;④Sn、S2n-Sn、S3n-S2n构成等差数列.类比上述性质,在等比数列{bn}中,写出相类似的结论.例2从等差数列、等比数列定义的相似性入手进行类比.在等比数列{bn}中，公比为q,前n项和为Sn，则数列{bn}有如下性质:①通项bn=bm·qn-m;②若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m、n、p、q∈N*);③am、am+k、am+2k(k∈N*)构成等比数列;④Sn、S2n－Sn、S3n－S2n构成等比数列.类比推理一般要先找出两类事物之间的相似性或一致性,然后用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,一般地,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,类比得出的命题越可靠.在平面几何中有：△ABC中，若它的内切圆半径为r，周长为C，则它的面积S△ABC类比得出空间几何中类似的命题,并予以证明.变式练习2.2rC命题:在三棱锥A-BCD中,若它的内切圆半径为R,表面积为S,则它的体积VA-BCD=.证明:设三棱锥A-BCD的内切球球心为O,连接OA、OB、OC、OD，因为S△ABC+S△BCD+S△ABD+S△ACD=S,所以VA-BCD=VO-ABC+VO-BCD+VO-ABD+VO-ACD=(S△ABC+S△BCD+S△ABD+S△ACD)=.3RS3R3RS例3重点突破：演绎推理用三段论证明函数f(x)=x3－2是R上的增函数.证明本例所依据的大前提是增函数的定义,即函数y=f(x)满足:在给定区间内任取自变量的两个值x1、x2，若x1x2,则有f(x1)f(x2).小前提是f(x)=x3－2在R上满足增函数的定义,这是证明本例的关键.设x1x2,则x2－x10,因为又若则x2+=0,且x1=0,由此x1=x2=0,与x1x2矛盾.所以又x1x2,则x2－x10.333321211()()(2)22fxfxxxxx　22212211·.xxxxxx2222112211230,24xxxxxxx（）2222112211230,24xxxxxxx（）12x2222112211230,24xxxxxxx（）所以当x1x2时,f(x2)－f(x1)=(x2－x1)(+x2x1+)0,即f(x2)＞f(x1).于是根据三段论,得函数f(x)=x3－2是R上的增函数.应用三段论推理来证明问题时,首先要明确什么是问题中的大前提和小前提.在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的,结论必定是正确的.22x21x定义在实数集上的函数f(x),对任意的x,y∈R,有f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0.求证：(Ⅰ)f(0)=1;(Ⅱ)y=f(x)是偶函数.(Ⅰ)令x=y=0,则有2f(0)=2f2(0),因为f(0)≠0,所以f(0)=1.(Ⅱ)令x=0,则有f(y)+f(－y)=2f(0)f(y)=2f(y),所以f(－y)=f(y),这说明f(x)为偶函数.变式练习3已知且f(1)=log162,f(-2)=1.(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;(Ⅱ)已知数列{xn}的项满足xn=［1-f(1)］［1-f(2)］…［1-f(n)］,试求x1,x2,x3,x4；(Ⅲ)猜想数列{xn}的通项公式.先由f(1),f(-2)的值求出a,b的值;然后通过计算x1,x2,x3,x4.归纳出通项公式.例4211,0,1bxfxxaaxa（）（－）（）(Ⅰ)把f(1)=log162=,f(－2)=1,代入函数表达式得a=1b=0于是21141ba2211(12)ba－－,整理得4b+4=a2+2a+1-2b+1=4a2-4a+1,解得,21()(1).(1)fxxx－14(Ⅱ)(Ⅲ)将x1,x2,x3,x4.的值分别变形为:猜想1213312111,1,44493xfx－－（－）342155131,1.31688255xx（－）（－）3456,,,,468102.21nxnn归纳推理分为完全归纳和不完全归纳,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对科学发现是十分有用的.1.归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别事物发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一些明确表述的一般性命题,并且在一般情况下,如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也越可靠.2.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论.一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题就越可靠.类比推理的结论具有或然性,即可能真,也可能假,它是一种由特殊到特殊的认识过程,具有很高的实用价值,是一种合情推理.3.“三段论”是演绎推理的一般模式,它包括:(1)大前提——已知的一般原理;(2)小前提——所研究的特殊情况;(3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.在应用三段论推理来证明问题时,首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提.在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的,结论必定正确.4.归纳和类比是常用的合情推理,从推理形式看,归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论看,合情推理的结论不一定正确,而演绎推理在前提和结论都正确的情况下,得到的结论一定正确.1.（2009·湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数.