第三章投资组合分析

第一节投资机会集合（可行集）的推导第二节有效集的推导第三节无风险借贷情形下的投资组合选择第四节市场模型pptdesign.blogbus.com第四章投资组合分析第一节投资机会集合–可行集•由N种可交易风险证券中的任意K种形成的证券组合构成的集合称为可行集。•思路：•寻找在σ－E(r)坐标系下的由风险资产构建的资产组合P的点的轨迹•研究P点的σ和E(r)之间的函数关系•假设条件：•1.单期投资•2.可选择的资产有限，且暂不考虑无风险资产•一.两种资产构建的组合的可行集点轨迹的风险上限。该线段是一条直线）（允许卖空的情况下是为端点的线段、点的轨迹是一以资产相关时，所以，两种资产完全正＝时，＝）当（具体形状：二次曲线之间的关系和点的坐标注意）（））（（：将上式带入方差公式得根据收益率公式可解的：的期望收益率和方差为），则组合和（投资比例分别为，，资产之间相关系数为和，标准差是和益率是假设两种资产的预期收PPrErErErExxrEPrErErErErErErErErErErErErErErErErErExxxxxrExrxErEPxxrErEpppppppppppp21)()()()()()1(11)()()()()()()(2)()()()()()()()()()()()()1(2)1()()1()()(1)()(2212122121221212222112122122212212222122212121为端点的二次曲线、以资产限和下限之间的，点的轨迹为介于风险上关时，组合所以，当两种资产不相＝时，＝）当（点轨迹的风险下限。这两条线段也是两条直线）相交与纵轴的线段（或，、别为资产点的轨迹是两条端点分负相关时，所以，当两种资产完全＝时，＝）当（21)()()()()()()()(0321)()()()()()1(1222221121221222121221PrErErErErErErErEPPrErErErExxppppp证券组合收益率的标准差的上下界P)(prE21下界上界下界)(2rE%3.8)(1rE•实际的可行集——一维双曲线例子ρ=1;0;-0.1;-112PrP=-1=1=0=-0.1二、两种以上资产构建的资产组合的可行集•方法一：图形推演•三种证券形成可行集多种证券形成可行集ABCDPr•方法二：数学推导•由N中资产构建的资产组合P，对于任意给定的一期望收益率E(r)，均可由不同的权数组合（x1,x2,x3,…xn）实现，P)(1prE)(2prE)(3prE最小方差集合方法二：数学推导01:)3(0)(:)2(0:)1()1())(()21(1)(..)21())(),(),(()111(,),,(,21212121212212222111221XILrEXRLIRXXLXIrEXRXXLXIrEXRtsXXMinrErErERINxxxXpppnnnnnnn式式式列出一阶条件方程组：构建拉格朗日函数，；优化问题解答：程就可以通过求解下列求则最小方差集合的过预期收益率向量，，维单位列向量设投资比例向量＝表示协方差矩阵，用方法二：数学推导物线。最小方差集合为一条抛坐标系中，－合为一条双曲线。而在坐标系中，最小方差集－结论：在则，再设＝则，；；；设式：式：）式中）、（），带入（（＝）式，解得由（)()()())(())()(()()(2))(())(()()(;)()()()()()()()()(;)()(01)6(0)()5(321222222111212122112211121121122211111121112111211rErEcrbErEarEJJrEJJJJrEJJrEJJXXMinWUVIWRVJWUVRWIUJWUVRWIUrEWUVIWRVXUVWWRUUVWWVRRISIRWIIVRRUIIRIrEIRRRIRXpppppppp第二节有效集的推导•一、有效的概念•即对于给定的风险程度使期望回报率最大化，或对于给定的期望回报率使风险最小化。•理性的投资者偏好于投资有效的资产组合。•二、有效集的推导•根据有效的概念（原则），有效集应为最小方差集合左上边缘（西北方）一段边缘曲线P)(1prE)(2prE)(3prEABC最小方差集合（可行集）第二节有效集的推导•三、组合选择行为•其中1代表高度厌恶风险的投资者的决策点•2代表轻微厌恶风险的投资者的决策点无差异曲线有效集12第三节无风险借贷情形下的投资组合•一、无风险借贷•是指市场上存在一个固定的收益率（无风险利率）rf，投资者既可以按照利率rf无限制投资无风险资产，也可以无限制借入资金并支付相同的利率rf。•无风险贷出：•无风险借入：第三节无风险借贷情形下的投资组合•二、引入无风险借贷后的可行集的变化•例：一投资者的投资分两部分：一部分是风险资产组合T,比例为x；另一部分投资于（或卖空）无风险资产F，比例为（1-x）。•则有T和F构建的资产组合P的收益率和风险分别为：))(,(TTrE),0(fr点的一条直线。点和的轨迹是一条经过所以，点＝整理得，FTPrrErrExxxxxxrExrxrEpTfTfpTpTTFFTpTfp)()()1(2)1())(()1()(2222222第三节无风险借贷情形下的投资组合x1筹借组合),0(frFPAB引入无风险借贷后，投资机会的可行集变为由射线FA和FB所辖的区域内。其中，A,B为原马科维茨伞形可行集上的点与无风险资产连线的切点。由风险资产P与无风险资产F构建的投资组合P的轨迹为射线FT。PT)(prEFP点的轨迹x1贷放组合T)(TrE第三节无风险借贷情形下的投资组合•三、引入无风险借贷后有效集的变化•有效集选择的原则：•风险一定的情况下，收益率要最高；•收益率一定的情况下，风险要求要最低。),0(frFPAB),0(frFPAC引入无风险借贷后的可行集引入无风险借贷后的有效集第三节无风险借贷情形下的投资组合•四、投资者组合选择行为的变化无差异曲线原上凸有效集12无差异曲线新线性有效集12M(切点)1代表高度厌恶风险的投资者的决策点2代表轻微厌恶风险的投资者的决策点1代表高度厌恶风险的投资者的决策点（即：贷放组合）2代表轻微厌恶风险的投资者的决策点（即：筹借组合）为引入无风险借贷前的投资决策引入无风险借贷后的投资决策F•五、市场组合M•1.几何意义：•引入无风险借贷后线性有效集与原马科维茨上凸有效集的切点所对应的资产组合•2.理论含义：•市场组合是一个典型而又具有特殊意义的资产组合，是由资产市场上全部资产按照各自尚未清偿的价值占总市值的比重（）相结合而形成的投资组合。•3.现实替代：•在实际经济是生活中，很难构建精确的市场组合，投资者一般用诸如标准普尔500指数等股指，或是整个证券市场来近似的替代市场组合M。•求得它们的（历史平均）收益率和收益率的标准差作为M点的坐标。第三节无风险借贷情形下的投资组合Mix第三节无风险借贷情形下的投资组合•思考：•若无风险借贷利率不同（r贷r借），有效集会如何变化？第四节市场指数模型•背景：•马柯维茨组合投资理论中对风险（方差或协方差）的计算过于复杂，特别是组合中包含证券数目较多时，运算量更是庞大的惊人！•现实应用中需简化收益与风险的度量。•思路：•寻找一个参照，计算出资产组合的相对风险。100粒豆子？？0.8倍1.4倍80粒140粒重量对比第四节市场指数模型•参照市场组合M现实中替代：市场指数•根据股票价格指数的概念及其作用，知证券的收益率r与股指（证券市场）的收益率r之间有相关性。•上图中，横轴为市场指数收益率；纵轴为考察证券的收益率。应用一元线性回归模型将图中离散的点拟合成一条直线，方程为：为随机误差项为敏感性系数；收益）；响而稳定获得的那部分为常数项（不受市场影收益率；为考察证券（组合）的其中，iiiiimiiirrr第四节市场指数模型•一.单一证券市场模型及风险的计算22222222))(())(())(())(())(())(()())())((()()()()()(mjiijimimimimmimmimmimmimmmiiimiimmiiimimiimiiiimiiimiiiimiiijirErErErErErrErErErrErErErrErErDrDrErErErr资产收益率的协方差和同样方法推导得：指标。量证券相对风险大小的义，其值也用来作为衡值体现了相对风险的含即：＝所以：又因为：所以：所以：因为：第四节市场指数模型•二.证券组合的市场模型及风险的计算散化投资的好处。可以以此为基础分析分非系统性风险总风险＝系统性风险为非系统性风险为系统性风险；其中得：＝其中，＝由＝则：；＝；＝令则：。，各自所占比例分别是种资产构建的投资组合一个由222222222221)()()()()()()())(()()(,,pmpiimiipmppmppppiippmpppmpppiipiipmiiiimiiiiipnxxrDrDxrrrErExxrExxrExrExrExxxPn第四节市场指数模型•布朗拥有一个投资组合，由三种证券组成，它们的特征如下：•证券贝塔值随机误差项比例•的标准差（%）•A1.20530%•B1.05850%•C0.9220%•如果市场指数的标准差是18%，则布朗投资组合的市场风险是多少？总风险是多少？第四节市场指数模型%6749.3)18.0(065.1065.19.02.005.15.02.13.022222fpiipX市场%86.3001841.0036749.0001841.002.02.008.05.05.03.02222222222222pfppiipX谢谢！