第三章统计综合指标第一节总量指标和相对指标第二节平均指标第三节变异指标★第三章统计综合指标第一节总量指标和相对指标第二节平均指标第三节变异指标★一、统计平均数概述二、算术平均数三、调和平均数四、几何平均数五、中位数和众数第二节平均指标★一名统计学家遇到一位数学家,统计学家调侃数学家说道:“你们不是说若X=Y且Y=Z,则X=Z吗!那么想必你若是喜欢一个女孩,那么那个女孩喜欢的男孩你也会喜欢喽!?”数学家想了一下反问道:“那么你把左手放到一锅一百度的开水中,右手放到一锅零度的冰水里想来也没事吧!因为它们平均的温度不过是五十度而已!”统计学家与数学家如果你的腳已經踩在爐子上,而頭卻在冰箱裡,統計學家會告訴你,平均而言,你相當舒服。调侃统计学家VAR00001174.0173.0172.0171.0170.0169.0168.0167.0166.0165.0164.0163.0162.0161.0160.0159.0158.0157.0156.0155.0154.0153.0152.014121086420Std.Dev=4.86Mean=163.3N=83.0083名女生的身高分布的集中趋势、中心数值算术平均数指总体中各单位的次数分布从两边向中间集中的趋势,用平均指标来反映。集中趋势可以反映现象总体的客观规定性;可以对比同类现象在不同的时间、地点和条件下的一般水平;可以分析现象之间的依存关系。测定集中趋势的意义:指同质总体中各单位某一数量标志的一般水平,是对总体单位间数量差异的抽象化统计平均数所要说明的问题是:总体中各单位标志值的代表性水平(所有标志值的一般水平)是多少?平均指标=总体标志总量/总体单位数可以概括地表征各种统计数列的基本数值特征,借以显示数列的一般水平或分布的集中趋势,从而进行对比分析,有动态和静态之分。STAT平均指标的种类动态平均数众数中位数位置平均数几何平均数调和平均数算术平均数数值平均数静态平均数oeMMGHx一、统计平均数概述二、算术平均数三、调和平均数四、几何平均数五、中位数和众数第二节平均指标★总体单位总数总体标志总量平均数算术基本形式:总产量总成本平均成本职工人数工资总额平均工资例:直接承担者※注意区分算术平均数与强度相对数算术平均数A.简单算术平均数——适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况NXNXXXXNiiN121式中:为算术平均数;为总体单位总数;为第个单位的标志值。iiXNX算术平均数的计算方法平均每人日销售额为:元558527905440750480600520NXX算术平均数的计算方法某售货小组5个人,某天的销售额分别为520元、600元、480元、750元、440元,则【例】B.加权算术平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况miimiiimmmffXffffXfXfXX11212211式中:为算术平均数;为第组的次数;为组数;为第组的标志值或组中值。XiXifimi算术平均数的计算方法【例】某企业某日工人的日产量资料如下:日产量(件)工人人数(人)101112131470100380150100合计800Xf计算该企业该日全部工人的平均日产量。算术平均数的计算方法件)(1375.1280097101007010014701011miimiiiffXX解:算术平均数的计算方法若上述资料为组距数列,则应取各组的组中值作为该组的代表值用于计算;此时求得的算术平均数只是其真值的近似值。说明miimiiiffXX11分析:成绩(分)人数(人)甲班乙班丙班603915010013950平均成绩(分)619980起到权衡轻重的作用算术平均数的计算方法决定平均数的变动范围表现为次数、频数、单位数;即公式中的fXfXf表现为频率、比重;即公式中的ffXfXfXff算术平均数的计算方法指变量数列中各组标志值出现的次数,是变量值的承担者,反映了各组的标志值对平均数的影响程度权数绝对权数相对权数曾宪报在其博士学位论文《统计权数论》中提出了他认为“简洁性好、概括性强”、“关于权数的最新认识”的定义:权数是衡量系统内诸要素相对重要程度的一组数值。权数与加权234567819权数与加权权数与加权23456781924.421191817263554432221x权数与加权23456781924.421191817263554432221x算术平均数的计算取决于变量值和权数的共同作用:变量值决定平均数的范围;权数则决定平均数的位置⒈变量值与其算术平均数的离差之和衡等于零,即:⒉变量值与其算术平均数的离差平方和为最小,即:0)(xxmin)(2xx算术平均数的主要数学性质离差的概念1x2x3x4x5x6x123456785x-1-1-2130)1(13)2(01)(xx16)1(13)2(01)(2222222xx思考题比特啤酒公司雇用了468名员工,其中有56名管理人员,130名行政和技术人员,其余282人是工人。这三组人的周平均工资分别是500英镑、300英镑和200英镑。财务主管希望计算全体员工的平均工资。)(33.3333200300500英镑NXXi正确的计算方法)(68.2632821305628220013030056500英镑fXfX3.对被平均变量施行某种线性变换后,新变量的算术平均数就等于对原变量的算术平均数施行同样线性变换的结果,也即:4.对于任何两个变量x和y,它们的代数和的算术平均数就等于两个变量的算术平均数的代数和,也即:均为常数其中ba,xbabxa\yxyx一、统计平均数概述二、算术平均数三、调和平均数四、几何平均数五、中位数和众数第二节平均指标★【例】设X=(2,4,6,8),则其调和平均数可由定义计算如下:⒉再求算术平均数:481614121⒈求各标志值的倒数:,,,21416181⒊再求倒数:816141214是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数,又叫倒数平均数调和平均数harmean(harmonicmean)A.简单调和平均数——适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况XmXXXmXmH111121式中:为调和平均数;为变量值的个数;为第个变量值。iiXmHX调和平均数的计算方法B.加权调和平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中:为第组的变量值;为第组的标志总量。imiXiimXmXmXmXmmmmXmmmH1221121调和平均数的计算方法——当已知各组变量值和标志总量时,作为算术平均数的变形使用。因为:XfXfXfXXfmXmXXfmH11,则设调和平均数的应用调和平均数的用途:作为独立意义上的平均数使用基本上没有用途。作为算术平均数的变形使用是其常见的用法。但此时已经不能称为调和平均数,只能称其为调和平均方法。fxfxh1xfxxfx1mmxfm日产量(件)各组工人日总产量(件)10111213147001100456019501400合计9710【例】某企业某日工人的日产量资料如下:计算该企业该日全部工人的平均日产量。调和平均数的应用Xm件1375.1280097101414001070097101mXmXH即该企业该日全部工人的平均日产量为12.1375件。调和平均数的应用解:求解比值的平均数的方法由于比值(平均数或相对数)不能直接相加,求解比值的平均数时,需将其还原为构成比值的分子、分母原值总计进行对比设比值iiifmX分子变量分母变量则有:miXmffXmiiiiii,,2,1,,mXmfXffmX1求解比值的平均数的方法己知,采用基本平均数公式fm、己知,采用加权算术平均数公式fX、己知,采用加权调和平均数公式mX、比值iiifmX【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下:计划完成程度(﹪)组中值(﹪)企业数(个)计划产值(万元)90以下90~100100~110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下:计划完成程度(﹪)组中值(﹪)企业数(个)计划产值(万元)90以下90~100100~110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法fmX计划产值实际产值程度计划完成分析:Xf应采用加权算术平均数公式计算﹪12.10524900261754400800440015.180085.0fXfX【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下(按计划完成程度分组):组别企业数(个)计划产值(万元)实际产值(万元)12342310380025001720044006802375180605060合计182490026175计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下(按计划完成程度分组):组别企业数(个)计划产值(万元)实际产值(万元)12342310380025001720044006802375180605060合计182490026175计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法fmX计划产值实际产值程度计划完成分析:fm应采用平均数的基本公式计算﹪12.1052490026175fmX一、统计平均数概述二、算术平均数三、调和平均数四、几何平均数五、中位数和众数第二节平均指标★是N项变量值连乘积的开N次方根几何平均数Geomean(geomatricmean)用于计算现象的平均比率或平均速度应用:各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度;相乘的各个比率或速度不为零或负值。应用的前提条件:A.简单几何平均数——适用于总体资料未经分组整理尚为原始资料的情况式中:为几何平均数;为变量值的个数;为第个变量值。iiXNGXNNNGXXXXX21几何平均数的计算方法【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪,求整个流水生产线产品的平均合格率。分析:设最初投产100A个单位,则第一道工序的合格品为100A×0.95;第二道工序的合格品为(100A×0.95)×0.92;……第五道工序的合格品为(100A×0.95×0.92×0.90×0.85)×0.80;因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品,故该流水线总的合格品应为100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80;则该流水线产品总的合格率为:80.085.090.092.095.0100A80.085.090.092.00.95100A总产品总合格品即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积,符合几何平均数的适用条件,故需采用几何平均法计算。因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品,故该流水线总的合格品应为100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80;则该流水线产品总的合格率为:80.085.090.092.095.0100A80.085.090.092.0