余弦定理(两课时)(课堂使用)

教学目标1、了解用勾股定理与向量法证明余弦定理的过程2、掌握余弦定理以及它的推论3、能用余弦定理及推论解三角形，并简单判断三角形形状三角形的面积求解0120,5,7,ABCAABBCABC在中，求的面积。12ABCS底高BacAbcCabSABCsin21sin21sin21正弦定理：CcBbAasinsinsinR2可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。CRcBRbARasin2,sin2,sin2变型：BAbaBACBAcbasinsinsin:sin:sin::复习回顾思考：如果在一个三角形中，已知两边及这两边的夹角，能否用正弦定理解这个三角形，为什么？在锐角三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,求aABCcba222CDBDa22(sin)(cos)bAcbA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：2222cosacBacb2222cosabCcab同样，对于钝角三角形上面三个等式成立的，课后请同学们自己证明。D[学生活动]当角C为钝角时证明：过A作ADCB交BC的延长线于D在Rt中ACDCACCACCDCACCACADcos)180cos(sin)180sin(在中CACCBCBACCACCACCBCBCACCDCBCACBDADABcos2coscos2sin)()sin(222222222222Cabbaccos2222bAacCBRtABD几何法﹚﹚探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，a,b,求边c.cABbCAaCB,,设)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bacAbccbacos2222﹚Baccabcos2222余弦定理Abccbacos2222babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，a,b,求边c.cABbCAaCB,,设bac向量法)()(babaccc2余弦定理Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推论：CBAbac思考1：问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.问题2：公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;剖析定理（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosB（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？bcacbA2cos222acbcaB2cos222222090cbaA222090cbaA222090cbaA剖析定理abcbaC2cos222（1）已知三边求三个角；222b+cacosA=-2bc222a+cbcosB=-2ac222a+bccosC=-2ab问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosB剖析定理应用定理例1、在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=410，解这个三角形（边长精确到1cm，角度精确到10）一、已知三角形的两边及夹角求解三角形的值和边、求角中，已知、在例aCBAcb,30,32,3ABC1Abccbacos2222解：由余弦定理知，3a得由正弦定理BbAasinsin233213sinBsinaAb330cos323232322CABabc60,Bcb90180CBA________,60,1,31aAcb则、若_____AC,43cos1BC2ABABC2则，，中，、在C72变式：CBAbac例2、在△ABC中，已知a=,b=2,c=,解三角形(依次求解A、B、C).解：由余弦定理得22222223161222231()()cos()bcaAbc60A45B180180604575CAB631二、已知三角函数的三边解三角形22)13(622)13()6(2cos222222acbcaB__________,2,1,3.1AcbaABC则中，若在三角形30120.13545.60.________,.2222DCBACabbcaABC或的大小为则角中，在三角形60变式：A60212cos2cos222222CababCabbcaabcbaC解析：CBAbac由推论我们能判断三角形的角的情况吗?bcacbA2cos222推论：CBAbac思考2：提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形0222acb△ABC是锐角三角形0222acb△ABC是直角三角形0222acb例3、在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）222cbaＡ、钝角三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、锐角三角形Ｄ、不能确定那呢?222cba三、判断三角形的形状三角形三边长分别为4,6,8，则此三角形为（）Ａ、钝角三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、锐角三角形Ｄ、不能确定01201、在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC＝5：7：8，则B＝例3、已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,求c及S△ABCBacacbcos2222解：022260cos8287cc整理得：c2-8c+15=0解得：c1=3,c2=531021362121BacSBacSABCABCsinsin或练习CA201练习小结:222cos2bcaAbc222cos2cabBca222cos2abcCab余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2、已知三边求三个角；3、判断三角形的形状Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理：推论:已知条件定理选用一般解法一边和二角(如a,B,C)正弦定理由A+B+C=180°求角A,由正弦定理求出b与c两边和夹角(如a,b,C)余弦定理由余弦定理求出第三边c，再由正弦定理求出剩下的角两边和其中一边的对角(如a,b,A)正弦定理由正弦定理求出角B,再求角C,最后求出c边.可有两解,一解或无解.三边(a,b,c)余弦定理先由余弦定理求出其中两个角,再利用内角和为180°求出第三个角.解三角形的四种基本类型：（1）若A为直角，则a²=b²+c²（2）若A为锐角，则a²b²+c²（3）若A为钝角，则a²b²+c²由a2=b2+c2－2bccosA可得利用余弦定理可判断三角形的形状.三、新课讲解1.7106.ABCabcABC在中，已知，，，试判断练：的形状习钝角三角形2.在锐角三角形三条边的长度分别为2、3、x，试求x的取值范围.(5,13)变式：若该三角形是钝角三角形呢？(1,5,)(13,5)例2在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解方法一根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，2b＝a＋c，∴a＋c22＝a2＋c2－2accos60°，整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.∴△ABC是正三角形．方法二根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为2sinB＝sinA＋sinC.又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴C＝120°－A，∴2sin60°＝sinA＋sin(120°－A)，整理得sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，C＝60°.∴△ABC是正三角形．总结题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断．解由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，∴A＝π3.又sinA＝2sinBcosC.∴a＝2b·a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－c2a，∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．变式训练2在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．例题3变式3．在△ABC中，∠B＝45°，AC＝10，cosC＝255.(1)求边BC的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．解(1)由cosC＝255，得sinC＝55.sinA＝sin(180°－45°－C)＝22(cosC＋sinC)＝31010.由正弦定理知BC＝ACsinB·sinA＝1022·31010＝32.(2)AB＝ACsinB·sinC＝1022·55＝2，BD＝12AB＝1.由余弦定理知CD＝BD2＋BC2－2BD·BC·cosB＝1＋18－2×1×32×22＝13.二、练习（08辽宁）在⊿ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c已知c＝2，C＝．（Ⅰ）若⊿ABC的面积等于，求a、b；（Ⅱ）若，求⊿ABC的面积．33sinsin()2sin2CBAA(1)3ABC解：△的面积为1sin342Sabcab即＝＝224abab由余弦定理及条件可得：224224abababab，联立方程组解得＝，＝，sin()sin()4sincosBABAAA解:(2)sincos2sincosBAAA4323cos0A2633ABab当时,＝，，，123sin23ABCSabC△的面积为二、练习（08辽宁）在⊿ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c已知c＝2，C＝．（Ⅰ）若⊿ABC的面积等于，求a、b；（Ⅱ）若，求⊿ABC的面积．33sinsin()2sin2CBAA二、练习（08辽宁）在⊿ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c已知c＝2，C＝．（Ⅰ）若⊿ABC的面积等于，求a、b；（Ⅱ）若，求⊿ABC的面积．33sinsin()2sin2CBAAsin()sin()4sincosBABAAA解:(2)sincos2sincosBAAAcos0sin2sinABA当时,可得2ba2242343332abababba，联立方程组解得＝，＝，123sin23ABCSabC△的面积为AC45352545....19619619698ABCD92929222....2489ABCD13二、练习4.在△ABC,∠B=30o,AB=,面积S=,则AC=______.2333.在△ABC中，若A=120º，c=5，b=3，则sinBsinC=()2.△ABC的两边长为2，3，其夹角的余弦为，则其外接圆的半径为()1.在△ABC中，已知，则△ABC中的最小内角的度数是（）A．60ºB．45ºC．30ºD．15º23sinsin,334,332BCbaC2（2009天津卷理）在⊿ABC中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA(I)求AB