第五章 2-1 第一类换元法

二、第二类换元法(变量替换法)第二节一、第一类换元法(凑微分法)机动目录上页下页返回结束换元积分法第五章求反导数要比求导困难，需要发展一些求反导数的技巧。这些技巧的理论依据就是求反导数的运算是求导数的逆运算，从而有关导数的运算法则可以反过来得到相应的求原函数的运算法则。可导，则具有原函数，设定理)()(:xuufduuf)(ux)(dxxxf)()]([第一类换元公式（凑微分法）使用此公式的关键在于将说明dxxg)(化为.)()]([dxxxf一、第一类换元积分法凑微分法的基本思路步骤:(1)凑微分；(2)换元求出积分；(3)代回原变量。.dx)('))(()(分公式求解积的形式，便于使用基本变形，使之凑成就是将被积表达式字上，其基本思想凑微分的重点在“凑”xxfdxxg例求.2sinxdx解xdx2sin)2(2sin21xxd;2cos21Cxduusin2xu令udusin21Cucos21例求.321dxx解:原式)32(32121xdxduu121Culn21.32ln21Cxduu1ux32令熟练后可不把u写出来，心里明白，直接求解.duuf)(ux)(dxxxf)()]([)()]([xdxfdxxxf)()]([即22)(1d1axxa例.求解:,axu令则xaud1d21uuda1Cuaarctan1想到公式21duuCuarctan)(ax机动目录上页下页返回结束例.求解:令,bxau则,ddxau故原式=muuad1a1Cumm111注:当时机动目录上页下页返回结束例.求21duu想到Cuarcsin解:2)(1daxax)(d))((xxf(直接配元)xxxfd)()]([2)(1)(daxax机动目录上页下页返回结束例.求解:xxxdcossinxxcoscosdxxxsindcosxxsinsind机动目录上页下页返回结束类似Caxaxaln21例.求解:221ax))((axax)()(axaxa21)11(21axaxa∴原式=a21axxaxxdda21axax)(da21axlnaxlnCaxax)(d机动目录上页下页返回结束ux12令练习：求几点注意：要用换元积分法(2)换元后被积函数容易求原函数，比如可由基本积分表求出的函数.(3).用凑微分法计算不定积分,常常需要对被积函数作适当的代数或三角恒等变换.(4).有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分.例.xxxdxlnlnlnxxxdlnlnln)(lnxxdlnln)ln(ln.|lnln|lnCx(5)常用的几种配元形式:xbxafd)()1()(dbxaa1xxxfnnd)()2(1nxdn1xxxfnd1)()3(nxdn1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4(xsindxxxfdsin)(cos)5(xcosd机动目录上页下页返回结束xxxfdsec)(tan)6(2xtandxeefxxd)()7(xedxxxfd1)(ln)8(xlnd例.求xln21xlnd解:原式=xln2121)ln21(dx机动目录上页下页返回结束例.求.d3xxex解:原式=xexd23)3d(323xexCex332例.求.dsec6xx解:原式=xdxx222sec)1(tanxtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC机动目录上页下页返回结束例求解.cossin52xdxxxdxx52cossin)(sincossin42xxdx)(sin)sin1(sin222xdxx)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例求解.2cos3cosxdxx)],cos()[cos(21coscosBABABA),5cos(cos212cos3cosxxxxdxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx例求.)1(3dxxx解dxxx3)1(dxxx3)1(11)1(])1(1)1(1[32xdxx221)1(2111CxCx.)1(21112Cxxdxxsin1dxxx2cos2sin2122cos2tan12xdxx2tan2tan1xdxCx2tanln2cos2sin2tanxxx2cos2sin22sin22xxxxxsincos1xxcotcsc证(2).xdxcscCxxcotcsclnxdxcsc所以,公式例.证明:Cxcotxcsclnxdxcsc(2).xdxsecCxtanxsecln(1).(1).xdxsecCxxtanseclndxxcos1)2()2sin(1xdx)2()2csc(xdxCxx)2cot()2csc(ln再用(2)来证明(1):例.求.1dxex解法1xeeexxxd1)1(xdxxee1)1(dxCex)1ln(解法2xeexxd1xxee1)1(dCex)1ln()]1(ln[)1ln(xxxeee两法结果一样机动目录上页下页返回结束小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元等xx22cossin1万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11机动目录上页下页返回结束利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如课后思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?xx4d)1(24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxx22214)4(dxxxx2121机动目录上页下页返回结束(1)-(5)小题要掌握方法!)后面的题目感兴趣者自阅.2.求提示:法1法2法310)x10dx10110(x10dx101作业目录上页下页返回结束xxsin11sin11213.求解法1xxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21机动目录上页下页返回结束xxtansec解法2xxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx同样可证xxdcscCxxcotcscln或Cx2tanln(P196例16)机动目录上页下页返回结束222d)(2123xax4.求.d)(23223xaxx解:原式=23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax23)(2222axa)(d22ax机动目录上页下页返回结束)2cos2cos21(241xx5.求解:224)(coscosxx2)22cos1(x)2cos21(24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(212341xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xx机动目录上页下页返回结束6.求解:xx3cossin22221)]2sin4(sin[xxxxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1(81xxx2cos2sin2)4cos1(81x∴原式=xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xx机动目录上页下页返回结束xexexxxddxexxd)1(7.求解:原式=xexe)1(1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1(1xxxxxexexexexexlnxex1lnCCexxxx1lnln机动目录上页下页返回结束分析:8.求解:原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2xxfxfxfxfd)()()()(22Cxfxf2)()(21))()(d(xfxf机动目录上页下页返回结束)()(xfxf