高考复习函数专题

高考热点板块——函数专题第一课映射、函数概念知能目标函数的概念包括函数的定义域、值域、解析式等,这些知识的考查在选择题和填空题出现较多,复习时要注意把握.1、了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域、值域．2、在实际情况中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3、能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式；综合脉络知识概要：1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．注意：①如果只给出解析式y＝f（x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；②函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1．（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的．那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合．（6）指数为零底不可以等于零。（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义．（又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域．）2.构成函数的三要素：定义域、对应法则和值域再注意：（1）构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关．相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致（两点必须同时具备）值域补充（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域．（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础．（3）求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、均值不等式法、单调性法、数形结合法．3.映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：AB”给定一个集合A到B的映射，如果a∈A，b∈B．且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象．4.常用的函数表示法及注意点：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，描点法作图要注意确定函数的定义域；②解析法：必须注明函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；③列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．优点：解析法：便于算出函数值．列表法：便于查出函数值．图象法：便于量出函数值补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数．在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式．分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．补充二：复合函数如果y＝f（u），（u∈M），u＝g（x），（x∈A），则y＝f[g（x）]＝F（x），（x∈A）称为f、g的复合函数．例如：y＝2sinxy＝2cos（x2＋1）补充三：抽象函数抽象函数问题是指没有给出解析式，只是给出一些特殊条件的函数问题，因为抽象，难以理解，它是高中数学函数部分的难点，但是这类问题对于发展抽象思维能力，进行数学思想方法的渗透，培养创新思想，提高数学素质，有着重要作用，所以也是重点考查内容。在解决抽象函数问题时，采用“从特殊到一般”、“化抽象为具体”的策略，问题就会明朗化。具体说来，首先，在求解函数解析式或研究函数的性质时，一般用“整体代换”的方法；其次，在求函数值时，可用赋值法进行求解；另外应研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或由具体模型对综合问题的解答提供思路和方法。例已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)(y),且当x＞0时，f(x)＞1,则当x＜0时，f(x)的取值范围是。分析：借助函数f(x)=ax（a＞1），则0＜f（a）＜1评注：借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法，可迅速得到正确答案。常见函数类型(一）正比例函数，一次函数，反比例函数1.正比例函数)0(kkxy2.一次函数)0(kbkxy其图象为一直线，0k时增函数，0k时减函数。而0k时为常数函数。3.反比例函数)0(kxky定义域),0()0,(，值域),0()0,(，图象是双曲线，0k时在),0()0,(和上递减，0k时在),0()0,(和递增。(二）二次函数1．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：(2)顶点式（配方式）：khxaxf2其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两根式（因式分解）：21xxxxaxf，其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。求一个二次函数的解析式需三个独立条件，如：已知抛物线过三点，已知对称轴和两点，已知顶点和对称轴。又如，已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，方程f(x)-x=0的两根为21,xx，则可设,21xxxxaxxf或xxxxxaxf21。2．二次函数)0(2acbxaxxf的图象是一条抛物线，对称轴abx2，顶点坐标___________________（1）a0时，抛物线开口向上，函数在__________上单调递减，在________上单调递增，x________时，min)(xf_________________.（2）a0时，抛物线开口向下，函数在]2,(ab上单调递增，在),2[ab上单调递减，abx2时，abacxf44)(2max3．二次函数与一元二次不等式的关系（1）方程)0(02acbxax的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)0y的x的取值。（2）一元二次不等式)0(02cbxax的解集为二次函数)0(2acbxaxxf)0(0y的x的取值范围。二次函数△情况一元二次方程一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c(a0)△=b2-4acax2+bx+c=0(a0)ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0(a0)图象与解△0abxabx222121xxxxx或21xxxx△=0abxx2210xxx△0方程无解R5、二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在给定区间nm,上的值域1若a0，1.当mab2时.mfnfy,2.当nab2时.nfmfy,.3.当nabm2时.nfmfabfy,max,2在比较nfmf,的大小时亦可以nm,与对称轴的距离而比较。2若a0，可得类似的结论。但无论如何xf的最值必在abfnfmf2,,中取到oxymnxyomnoxymn课时2－2函数的解析式与定义域【基础知识】一．关于求函数的解析式问题1．根据对应法则的意义求函数的解析式；⑴⑵2．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；3．由函数)(xf的图像受制约的条件，进而求)(xf的解析式．二．关于求函数的定义域的问题1．根据给出函数的解析式求定义域：⑴整式：_________________________________________________⑵分式：_________________________________________________⑶偶次根式：_____________________________________________⑷含0次幂、负指数幂：___________________________________⑸对数：_________________________________________________⑹三角函数：_____________________________________________2．根据对应法则的意义求函数的定义域：⑴⑵3．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．【基本训练】1．若函数baxxxf2)(满足：0)1(f，0)2(f，则)1(f_______．2．若函数)2)(1lg()(xxxf与)1lg()(xxg)2lg(x的定义域分别是F、G，则（）A．FGB．FGC．FGÜD．FGÝ3．已知函数2lg(2)yxx的定义域为A，函数21xyx的定义域为B，则AB等于____________________．4．函数212log(43)yxx的定义域为_________________．【例题分析】1．已知xxxf2)1(，求)(xf．2．若函数()fx满足1()2()3fxfxx，求)(xf．3．设()fx是一次函数，且[()]43ffxx，求()fx．4．已知二次函数)(xf满足：)2()2(xfxf，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为22，求)(xf的解析式．5．分别求满足下列条件的函数的定义域．⑴已知()yfx定义域为]5,2[，求(32)yfx定义域；⑵已知(32)yfx定义域为]5,2[，求()yfx定义域；⑶已知()yfx的定义域是[0,2]，求(1)(1)yfxfx的定义域；⑷已知(2)xyf的定义域为[1,1]，则2(log)yfx的定义域．6．求下列函数的定义域．⑴23|1|1xxyx⑵226log|1|1xxyx7．已知函数2()lg(43)fxmxmxm定义域为R，求实数m的取值范围．【课后练习】1．设32)(xxf，)()2(xfxg，则()gx______________．2．已知函数xxf2sin)cos1(，则)(xf__________________．3．若函数()fx的定义域是[1,1]，则函数12(log)fx的定义域是（）A．1[,2]2B．(0,2]C．[2,)D．1(0,]24．求下列函数的定义域．⑴02lg(3)(1)12xyxxx⑵7|2|lg(93)xxy⑶2112||yxx⑷213log(31)yxx【高考再现】1．（2005年高考江苏卷）已知函数2()43fxxx，若常数a、b满足：2()1024faxbxx，则5ab的值为__________________．2．（2006年高考广东卷）函数)13lg(13)(2xxxxf的定义域是（）A．),31(B．)1,31(C．