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第八章第二节机动目录上页下页返回结束偏导数二、偏导数的几何意义一、偏导数的定义及计算三、高阶偏导数定义：设函数),(yxfz=在点),(000yxP的某一邻域内有定义，将y固定为0y，给0x以增量xΔ，相应地函数有增量一、偏导数的定义及计算),(),(0000yxfyxxfzx−Δ+=Δ若极限xyxfyxxfxΔ−Δ+→Δ),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz=在点),(00yx处对x的偏导数，记为机动目录上页下页返回结束,00yyxxxz==∂∂,00yyxxxf==∂∂,00yyxxxz==′),(00yxfx′或可定义函数),(yxfz=在点),(00yx处对y的偏导数，定义为同理yyxfyyxfyΔ−Δ+→Δ),(),(lim00000记为00yyxxyz==∂∂，00yyxxyf==∂∂，00yyxxyz==′或),(00yxfy′.机动目录上页下页返回结束如果函数),(yxfz=在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz=对自变量x的偏导数，记作xz∂∂，xf∂∂，xz′或),(yxfx′.同理可以定义函数),(yxfz=对自变量y的偏导数，记作yz∂∂，yf∂∂，yz′或),(yxfy′.机动目录上页下页返回结束偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处),,(zyxfu=),,(zyx,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxxΔ−Δ+=′→Δ,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyyΔ−Δ+=′→Δ.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzzΔ−Δ+=′→Δ机动目录上页下页返回结束例1求223yxyxz++=在点)2,1(处的偏导数．解=∂∂xz;32yx+=∂∂yz.23yx+=∂∂∴==21yxxz,82312=×+×=∂∂==21yxyz.72213=×+×机动目录上页下页返回结束例2设yxz=)1,0(≠xx，求证zyzxxzyx2ln1=∂∂+∂∂.证=∂∂xz,1−yyx=∂∂yz,lnxxyyzxxzyx∂∂+∂∂ln1xxxyxyxyylnln11+=−yyxx+=.2z=原结论成立．机动目录上页下页返回结束例3已知理想气体的状态方程RTpV=（R为常数），求证：1−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pTTVVp.证⇒=VRTp;2VRTVp−=∂∂⇒=pRTV;pRTV=∂∂⇒=RpVT;RVpT=∂∂=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pTTVVp2VRT−pR⋅RV⋅.1−=pVRT−=机动目录上页下页返回结束偏导数xu∂∂是一个整体记号，不能拆分;有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；机动目录上页下页返回结束.),()0,0(),(0)0,0(),(),(22的偏导数求设yxfyxyxyxxyyxf⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=例4解,)0,0(),(时当≠yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx+⋅−+=′,)()(22222yxxyy+−=22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy+⋅−+=′,)()(22222yxyxx+−=机动目录上页下页返回结束,)0,0(),(时当=yx按定义可知：xfxffxxΔ−Δ=′→Δ)0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0=Δ=→ΔxxyfyffyyΔ−Δ=′→Δ)0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0=Δ=→Δyy,)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222⎪⎩⎪⎨⎧=≠+−=′yxyxyxxyyyxfx.)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222⎪⎩⎪⎨⎧=≠+−=′yxyxyxyxxyxfy机动目录上页下页返回结束即),(yxf在)0,0(点的两个偏导数都存在，但例4说明：多元函数在某点的偏导数都存在并不能保证此函数在这一点是连续的。即),(yxf在)0,0(点不连续。)0,0(21lim),(lim222,0,0,0fxxxyxfxyxyxyx≠=+==→=→→机动目录上页下页返回结束偏导数存在与连续的关系多元函数中在某点偏导数存在一元函数中在某点可导连续连续例5设⎩⎨⎧===其它或12),(00yyxxyxf0),(00yx•显然),(yxf在),(00yx处不连续，但0),(00=yxfx0),(00=yxfy偏导数存在。机动目录上页下页返回结束xzy0),(yxfz=Mxz∂∂xyxfyxxfxΔ−Δ+=→Δ),(),(lim00000αMxz∂∂由一元函数导数的几何意义：z=f(x,y)⎩⎨⎧==0),(yyyxfzL：L得曲线=tanα二.偏导数的几何意义.y=y0)(00y,x?=∂∂Myz同理，.MTx固定y=y0复习一元函数导数机动目录上页下页返回结束M),(yxfz=Myz∂∂yy,xfyy,xfyΔ−Δ+=00000→Δ)()(limαz=f(x,y)L)(00y,xx=x0固定x=x0Tx.xzy0二.偏导数的几何意义机动目录上页下页返回结束M),(yxfz=Myz∂∂yy,xfyy,xfyΔ−Δ+=00000→Δ)()(limαMyz∂∂由一元函数导数的几何意义：z=f(x,y)⎩⎨⎧==0xxy,xfz)(L得曲线=tanβ.)(00y,xx=x0固定x=x0TxβTy.xzy0二.偏导数的几何意义机动目录上页下页返回结束),,(22yxfxzxzxxx′′=∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂),(22yxfyzyzyyy′′=∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂),,(2yxfyxzxzyxy′′=∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂),(2yxfxyzyzxyx′′=∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂函数),(yxfz=的二阶偏导数为纯偏导混合偏导三、高阶偏导数机动目录上页下页返回结束类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为3322)(xzxzx∂∂=∂∂∂∂z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶)(y∂∂yxznn∂∂∂=−1机动目录上页下页返回结束偏导数为11−−∂∂nnxz定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6：设13323+−−=xyxyyxz，求22xz∂∂、xyz∂∂∂2、yxz∂∂∂2、22yz∂∂及33xz∂∂.解xz∂∂,33322yyyx−−=yz∂∂;9223xxyyx−−=22xz∂∂,62xy=22yz∂∂;1823xyx−=33xz∂∂,62y=xyz∂∂∂2.19622−−=yyxyxz∂∂∂2,19622−−=yyx机动目录上页下页返回结束例7设byeuaxcos=，求二阶偏导数.解,cosbyaexuax=∂∂;sinbybeyuax−=∂∂,cos222byeaxuax=∂∂,cos222byebyuax−=∂∂,sin2byabeyxuax−=∂∂∂.sin2byabexyuax−=∂∂∂机动目录上页下页返回结束问题：混合偏导数都相等吗？.),()0,0(),(0)0,0(),(),(223的二阶混合偏导数求设yxfyxyxyxyxyxf⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=例8解,)0,0(),(时当≠yx2223222)(2)(3),(yxyxxyxyxyxfx+⋅−+=′,)(232224222yxyxyxyx+−+=,)(2),(22223223yxyxyxxyxfy+−+=′机动目录上页下页返回结束,)0,0(),(时当=yx按定义可知：xfxffxxΔ−Δ=′→Δ)0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0=Δ=→ΔxxyfyffyyΔ−Δ=′→Δ)0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0=Δ=→ΔyyyfyffxxyxyΔ′−Δ′=′′→Δ)0,0(),0(lim)0,0(0,0=xfxffyyxyxΔ′−Δ′=′′→Δ)0,0()0,(lim)0,0(0.1=).0,0()0,0(yxxyff′′≠′′显然机动目录上页下页返回结束问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？证明目录上页下页返回结束说明1：例如,对三元函数u=f(x,y,z),),,(),,(),,(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx′′′=′′′=′′′说明2:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.),,(),,(),,(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx′′′=′′′=′′′=因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等例9：验证函数22ln),(yxyxu+=满足拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂yuxu。解),ln(21ln2222yxyx+=+Q,22yxxxu+=∂∂∴,22yxyyu+=∂∂满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。机动目录上页下页返回结束,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu+−=+⋅−+=∂∂∴.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu+−=+⋅−+=∂∂=∂∂+∂∂∴2222yuxu.0=2222222222)()(yxyxyxxy+−++−四、内容小结1.偏导数的概念及有关结论•定义;记号;几何意义•函数在一点偏导数存在函数在此点连续•混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法•求分段点处偏导数要用定义去求。•求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)机动目录上页下页返回结束作业习题7-2(P69)1(1)(3)(6)(7)；3；4；6；7(1)(3)；8第三节目录上页下页返回结束,)(xuuf∂∂′备用题设,)(ufz=方程+=)(uuϕ∫xytdtp)(确定u是x,y的函数,,)(,)(可微其中uufϕ)(),(utpϕ′连续,且,1)(≠′uϕ求.)()(yzxpxzyp∂∂+∂∂解:=∂∂xzyuufyz∂∂′=∂∂)(xuuxu∂∂′=∂∂)(ϕ)(xp+yuuyu∂∂′=∂∂)(ϕ)(yp−=∂∂xu)(1)(uxpϕ′−=∂∂yu)(1)(uypϕ′−−)(uf′=∂∂+∂∂∴yzxpxzyp)()([]yuxpxuyp∂∂+∂∂)()(0=机动目录上页下页返回结束y=f(x)xy0M0x)(0xf导数的几何意义导数的几何意义处切线的斜率表示曲线在点00′xxf)(.xyxΔΔΔ0lim→=)(0xf′=tanααy=f(x)复习一元函数导数返回原页