搜索
第九章重积分第九章第一节机动目录上页下页返回结束二重积分的概念及性质二、二重积分的概念一、问题的提出三、二重积分的性质（按积分区域分类）（按积分区域分类）积分区域积分区域定积分二重积分三重积分D曲线积分曲面积分一型：对弧长二型：对坐标一型：对面积二型：对坐标Stokes公式高斯公式格林公式Ω1.多元函数积分学概况多元函数积分学概况推推广广推推广广推推广广推推广广机动目录上页下页返回结束柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.),(yxfz=D１．曲顶柱体的体积一、问题的提出机动目录上页下页返回结束x0zyDSS:z=f(x,y)元素法元素法1任意分割区域D,化整为零2以平代曲1.曲顶柱体的体积Δσi机动目录上页下页返回结束x0zyDS:z=f(x,y)iiiiyxfVσΔ≈Δ),(3积零为整∑=σΔ≈niiiiyxfV1),(2以平代曲元素法元素法1任意分割区域D,化整为零1.曲顶柱体的体积.Δσi机动目录上页下页返回结束x0zyDS:z=f(x,y)iiiiyxfVσΔ≈Δ),(3积零为整∑=σΔ≈niiiiyxfV1),(4取极限令分法无限变细令分法无限变细Δσi2以平代曲元素法元素法1任意分割区域D,化整为零1.曲顶柱体的体积.∑=niiiiσyxf1Δ),(limV=机动目录上页下页返回结束x0zyDS:z=f(x,y)iiiiyxfVσΔ≈Δ),(3积零为整iσΔ∑=σΔ≈niiiiyxfV1),(4取极限令分法无限变细令分法无限变细2以平代曲元素法元素法1任意分割区域D,化整为零1.曲顶柱体的体积.∑=niiiiσyxf1Δ),(limV=机动目录上页下页返回结束x0zyS:z=f(x,y)iiiiyxfVσΔ≈Δ),(iiiiyxfVσΔ≈Δ),(3积零为整4取极限令分法无限变细令分法无限变细V2以平代曲元素法元素法1任意分割区域D,化整为零.1.曲顶柱体的体积.∑=niiiiσyxf1Δ),(limV=∑=σΔ≈niiiiyxfV1),(机动目录上页下页返回结束2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为),(),(常数若μμ≡yx设D的面积为σ,则σμ⋅=M若),(yxμ不是常数,仍可用其面密“分割,近似,求和,取极限”的方法解决.1)“分割”用任意曲线网分D为n个小区域,,,,21nσσσΔΔΔL相应把薄片也分为小区域.D机动目录上页下页返回结束yx,),(Cyx∈μ2)“近似”中任取一点kσΔ在每个),,(kkηξ3)“求和”∑=Δ=nkkMM1∑=Δ≈nkkkk1),(σηξμ4)“取极限”{}的直径令knkσλΔ=≤≤1max∑=→Δ=nkkkkM10),(limσηξμλkσΔ),(kkηξ),,2,1(),(nkMkkkkL=Δ≈Δσηξμ则第k小块的质量机动目录上页下页返回结束yx两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割,近似,求和,取极限”∑=→Δ=nkkkkfV10),(limσηξλ∑=→Δ=nkkkkM10),(limσηξμλ曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动目录上页下页返回结束定义设函数),(yxf在平面有界闭区域D上有定义。将闭区域D任意分成n个小闭区域1σΔ，L,2σΔ，nσΔ，其中iσΔ表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个iσΔ上任取一点),(iiηξ，做和式iiniifσηξΔ∑=),(1，记}{max1的直径iniσλΔ=≤≤。若不论小区域怎样分以及点),(iiηξ怎样取，和式的极限iiniifσηξλΔ∑=→),(lim10都存在且二、二重积分的概念机动目录上页下页返回结束积分区域积分区域相等，则称函数),(yxf在区域D上是可积的，且称此极限值为函数),(yxf在闭区域D上的二重积分，记为∫∫Ddyxfσ),(，即积分和积分和被积函数被积函数积分变量积分变量被积表达式被积表达式面积元素面积元素∫∫Ddyxfσ),(iiniifσηξλΔ=∑=→),(lim10机动目录上页下页返回结束（1）在二重积分的定义中，对积分区域D的划分及点的取法是任意的。（2）若),(yxf在闭区域D上连续，则),(yxf在闭区域D上可积。对二重积分定义的说明：（3）若),(yxf在闭区域D有界且分片连续，则),(yxf在闭区域D上可积。（4）曲顶柱体的体积是σdyxfVD∫∫=),(平面薄片的质量σμdyxmD∫∫=),(机动目录上页下页返回结束二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．当被积函数既有大于零的部分也有小于零的部分时，二重积分是大于零部分的柱体体积和小于零部分的柱体体积的代数和．机动目录上页下页返回结束性质１当k为常数时，.),(),(∫∫∫∫=DDdyxfkdyxkfσσ性质２∫∫±Ddyxgyxfσ)],(),([.),(),(∫∫∫∫±=DDdyxgdyxfσσ假设下面所涉及到的函数在积分区域上都是可积的三、二重积分的性质机动目录上页下页返回结束性质3σ若为D的面积，.1∫∫∫∫=⋅=DDddσσσ性质4对区域具有可加性.),(),(),(21∫∫∫∫∫∫+=DDDdyxfdyxfdyxfσσσ性质５若在D上),,(),(yxgyxf≤.),(),(∫∫∫∫≤DDdyxgdyxfσσ性质6.),(),(∫∫∫∫≤DDdyxfdyxfσσ)(21DDD+=则有机动目录上页下页返回结束若在D上),,(),(yxgyxf≤.),(),(∫∫∫∫DDdyxgdyxfσσ则有),,(),(yxgyxf≠但设M、m分别是),(yxf在闭区域D上的最大值和最小值，σ为D的面积，则设函数),(yxf在闭区域D上连续，σ为D的面积，则至少存在一点D∈),(ηξ使得性质8（二重积分的中值定理）∫∫≤≤DMdyxfmσσσ),(σ⋅ηξ=σ∫∫),(),(fdyxfD（二重积分估值定理）性质7机动目录上页下页返回结束例1不作计算，估计σdeIDyx∫∫+=)(22的值，其中D是闭区域：12222≤+byax，)0(ab.在D上2220ayx≤+≤Q,,12220ayxeee≤≤=∴+由估值定理知,222)(aDyxede⋅≤≤∫∫+σσσ解222)(aDyxeabdeabπσπ≤≤∫∫+区域D的面积πσab=,机动目录上页下页返回结束例2：估计∫∫+++=DxyyxdI16222σ的值，其中D：20,10≤≤≤≤yx.区域面积2=σ,,16)(1),(2++=yxyxfQ在D上),(yxf的最大值)0(41===yxM),(yxf的最小值5143122=+=m)2,1(==yx故4252≤≤I.5.04.0≤≤⇒I解机动目录上页下页返回结束例3判断∫∫≤++122)ln(yxdyxσ的符号.当1≤+yx时,,1)(0222≤+≤+yxyx故0)ln(22≤+yx;又当1+yx时,,0)ln(22+yx于是0)ln(122+∫∫≤+yxdyxσ.解机动目录上页下页返回结束例4比较积分∫∫+Ddyxσ)ln(与∫∫+Ddyxσ2)][ln(的大小，其中D是三角形闭区域，三顶点各为(1,0)，(1,1)，(2,0)。解三角形斜边方程2=+yx在D内有eyx≤+≤21,故1)ln(0+yx,于是[]2)ln()ln(yxyx++，因此+∫∫Ddyxσ)ln(∫∫+Ddyxσ2)][ln(.oxy121D机动目录上页下页返回结束σσd)(,d)(32∫∫∫∫++DDyxyx其中2)1()2(:22≤−+−yxD解:积分域D的边界为圆周1=+yx332)()(yxyx+≤+2)1()2(22=−+−yx它与x轴交于点(1,0),.1相切与直线=+yx而域D位,1≥+yx从而σσd)(d)(32∫∫∫∫++∴DDyxyx于直线的上方,故在D上1y2xo1D机动目录上页下页返回结束例5.比较下列积分的大小:而在D上除点(1,0)外都有32)()(yxyx++性质1（奇偶对称性）：设平面上有界闭区域D被y轴（或x轴）分成对称的两块1D，2D。二重积分的对称性质（1）若),(yxf关于x（或y）是奇函数，即),(),(yxfyxf−=−(或),(),(yxfyxf−=−)，则0),(=∫∫σdyxfD（2）若),(yxf关于x(或y)是偶函数,即),(),(yxfyxf=−（或),(),(yxfyxf=−），则σσσdyxfdyxfdyxfDDD∫∫∫∫∫∫==21),(2),(2),(机动目录上页下页返回结束例6计算二重积分σdyxxyAD∫∫+=)]sin()[sin(22其中}11,11|),{(≤≤−≤≤−=yxyxDσdyxxyAD∫∫+=)]sin()[sin(22000=+=D关于x轴，y轴都对称，而)sin(2xy关于x是奇函数，)sin(2yx关于y是奇函数，所以解机动目录上页下页返回结束∫∫∫∫+=DDdyxdxyσσ)sin()sin(22性质2（轮换对称性）：若平面有界闭区域D关于直线y=x对称，则机动目录上页下页返回结束σσdxyfdyxfDD∫∫∫∫=),(),(例7：求证：),(21)()()()(2baRdyfxfybfxafD+=++∫∫πσ其中,:222RyxD≤+)(xf为正值连续函数。证明：∫∫++=DdyfxfybfxafIσ)()()()(∫∫++=Ddyfxfxbfyafσ)()()()(∫∫+++=DdyfxfyfxfbaIσ)()())()()((2∫∫+=Ddbaσ)(2)(Rbaπ+=2)(21RbaIπ+=∴二重积分的定义二重积分的性质（对称性）二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结机动目录上页下页返回结束习题8-1(P149)1，2(1)(3)，3(1)(3)，6第二节目录上页下页返回结束作业1.设D是第二象限的一个有界闭域,且0y1,则,d31∫∫=DxyIσ,d322∫∫=DxyIσ∫∫=DxyIσd3213的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA≤≤≤≤≤≤≤≤提示:因0y1,故;212yyy≤≤D故在D上有,03x又因323321xyxyxy≤≤yox1D机动目录上页下页返回结束2.证明:,2d)cossin(122≤+≤∫∫σDyx其中D为.10,10≤≤≤≤yx解:利用轮换对称性,有σd)cossin(22∫∫+Dyx[]σσd)cossin(d)cossin(212222∫∫∫∫+++=DDxyyx[]σσd)cossin(d)cossin(212222∫∫∫∫+++=DDyyxxσd)cossin(22∫∫+=Dxxσπd)4sin(22∫∫+=Dx,1)4sin(21,1022≤+≤∴≤≤πxxQ又D的面积为1,故结论成立.yox1D1机动目录上页下页返回结束3.判断积分σdyxyx∫∫≤+−−4322221的正负号.解:分积分域为,,,321DDD则原式=σdyxD∫∫−−13221σdyxD∫∫−+−23221σdyxD∫∫−+−33221∫∫1dDσσd1333∫∫−−D)34(23−−=ππ23D32D11Dyxo0)21(3−=π猜想结果为负但不好估计.舍去此项机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束1．若),(0yxf及),(0yxf在),(00yx点均取得极值，问),(yxf在点),(00yx是否也取得极值？若取得请证明，否则举例说明。课堂练习：确定cba,,的值，使函数232),,(zcxbyzaxyzyxf++=在点)1,2,1(−处沿z轴正方向的方向导数有最大值64。2.已知zyx,,为实数，且3||2=++zyex，求证：1||2≤zyex。3.