大学经典课件之高等数学――9-2二重积分的计算(2)

第九章第二节机动目录上页下页返回结束二重积分的计算（2）极坐标系下计算二重积分为什么引用极坐标计算二重积分引用极坐标计算二重积分21D0yxD1D2D3D4D:之间的环域和412222=+=+yxyx∫∫∫∫∫∫∫∫+++=4321DDDDI怎么计算？∫∫=DyxyxfId)d,(必须把D分块儿!机动目录上页下页返回结束AoDiσΔiρρ=iiρρρΔ+=iiθθθΔ+=iθθ=一、利用极坐标系计算二重积分机动目录上页下页返回结束在极坐标系下,则小区域的面积可近似地看成矩形，即),,2,1(niiL=Δσ射线θ=常数,分划区域D为用同心圆ρ=常数，iiiiθρρσΔ⋅Δ⋅≈Δ.)sin,cos(),(∫∫∫∫=DDddfdxdyyxfθρρθρθρθρρσddd=∴.)sin,cos()()(21∫∫=θϕθϕβαρρθρθρθdfdαβADo)(1θϕρ=)(2θϕρ=∫∫Dddfθρρθρθρ)sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图,βθα≤≤).()(21θϕρθϕ≤≤机动目录上页下页返回结束区域特征如图,βθα≤≤).()(21θϕρθϕ≤≤.)sin,cos()()(21∫∫=θϕθϕβαρρθρθρθdfd∫∫Dddfθρρθρθρ)sin,cos(αβAoD)(2θϕρ=)(1θϕρ=机动目录上页下页返回结束AoD)(θϕρ=.)sin,cos()(0∫∫=θϕβαρρθρθρθdfd二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图,βθα≤≤).(0θϕρ≤≤∫∫Dddfθρρθρθρ)sin,cos(αβ机动目录上页下页返回结束∫∫Dddfθρρθρθρ)sin,cos(.)sin,cos()(020∫∫=θϕπρρθρθρθdfd二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图).(0θϕρ≤≤DoA)(θϕρ=,2π≤≤θ0机动目录上页下页返回结束思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于答:;0πθ≤≤)(θϕρ=Doyx)(θϕρ=Doyx原点，试问ρ和θ的变化范围是什么?(1)(2)22πθπ≤≤−机动目录上页下页返回结束答:)(0θϕρ≤≤)(0θϕρ≤≤例1将∫∫Ddxdyyxf),(化为极坐标下的二次积分，其中,}11|),{(2xyxyxD−≤≤−=.1=+yx122=+yx解在极坐标系下⎩⎨⎧==θρθρsincosyx所以圆方程为1=ρ,直线方程为θθρcossin1+=,∫∫Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1∫∫+=πθθρρθρθρθdfd机动目录上页下页返回结束例2计算二重积分∫∫++πDdxdyyxyx2222)sin(，其中积分区域为}41|),{(22≤+≤=yxyxD.解由对称性，可只考虑第一象限部分，∫∫++Ddxdyyxyx2222)sin(π∫∫=210sin42ρρρπρθπdd.4−=1D∫∫++=12222)sin(4Ddxdyyxyxπ机动目录上页下页返回结束0yx变为极坐标形式把d)d,(∫∫=DyxyxfI所围区域与0)(:222==+−yayaxD2aθθρcos2a=∫∫=20cos20d)sin,cos(dπθρρθρθρafθ)(222ayax=+−,cos2θρa=即解例3∫∫=DyxyxfIdd),(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎩⎨⎧==代入令sincosθyθxρρ机动目录上页下页返回结束)d,(d20202变为极坐标形式把∫∫−=RyRyxyxfyI2R区域边界：x=0=∴I0yxθ即ρ=2Rsinθρ=2Rsinθ∫∫20sin20d)sin,cos(dπθρρθρθρθRf例422yRyx−=2πθ=即机动目录上页下页返回结束例5写出∫∫Ddxdyyxf),(在极坐标下的累次积分，其中,4)2(|),{(22≤+−=yxyxD}20,)(222≥+−aayax机动目录上页下页返回结束解⇒=+−4)2(22yx在极坐标系下θρcos4=⇒=+−222)(ayaxθρcos2a=θa24⋅⋅xyo}22,cos4cos2|),{(πθπθρθθρ≤≤−≤≤=aD∫∫Ddxdyyxf),(∫∫−=θθππρρθρθρθcos4cos222)sin,cos(adfd例6计算dxdyyxD)(22∫∫+，其中D为由圆yyx222=+，yyx422=+及直线03=−yx，03=−xy所围成的平面闭区域.解32πθ=⇒61πθ=⇒θρsin4=⇒θρsin2=⇒dxdyyxD)(22∫∫+∫∫⋅=36sin4sin22ππθθρρρθdd).32(15−π=yyx422=+yyx222=+03=−yx03=−xy机动目录上页下页返回结束0yx4ρ=4cosθ所围xy,yx,xyx,xyx:D2==8=+4=+2222422xyx=+822xyx=+ρ=8cosθ8Dθ1θ2,cos4θρ=即4=1πθ即2=2arctanθ即,cos8θρ=即例7∫∫=Dyxy,xfId)d(计算y=2xx=y机动目录上页下页返回结束0yx422xyx=+822xyx=+yx=4=1πθ即xy2=2=2arctanθ即ρ=8cosθD48.ρ=4cosθθ2θ1所围xy,yx,xyx,xyx:D2==8=+4=+2222,cos8θρ=即∫∫2arctan4cos8cos4d)sin,cos(dπθθρρθρθρθf,cos4θρ=即.∫∫=Dyxy,xfId)d(I=机动目录上页下页返回结束例7计算例8.求球体22224azyx≤++被圆柱面xayx222=+)0(a所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:由对称性可知20,cos20:πθθρ≤≤≤≤aDθρρρdd4422∫∫−=Da∫=20d4πθ∫−θρρρcos2022d4aaθθπd)sin1(3322033∫−=a)322(3323−=πaoxyza2机动目录上页下页返回结束yxyxaVDdd44222∫∫−−=aa2xyoaxyx222=+例9求曲线)(2)(222222yxayx−=+和222ayx≥+所围成的图形的面积.解根据对称性有在极坐标系下)(2)(222222yxayx−=+,2cos2θρa=⇒,222aayx=⇒=+ρ1D14DD=机动目录上页下页返回结束由⎩⎨⎧==aaρθρ2cos2,得交点)6,(π=aA,所求面积∫∫=14Ddxdy∫∫=θρρθπ2cos2064aadd).33(2π−=a∫∫=Ddxdyσ机动目录上页下页返回结束1D)6,(π=aA•例10计算dxdyeDyx∫∫−−22，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系下D：a≤≤ρ0，π≤θ≤20.dxdyeDyx∫∫−−22∫∫−=aded0202ρρθρπ).1(2ae−−π=机动目录上页下页返回结束例11求广义积分∫∞+−02dxex.解}0,,|),{(2221≥≤+=yxRyxyxD}0,,2|),{(2222≥≤+=yxRyxyxD}0,0|),{(RyRxyxS≤≤≤≤=显然有21DSD⊂⊂,022−−yxeQ∴∫∫−−122Dyxdxdye∫∫−−≤Syxdxdye22.222∫∫−−≤Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2机动目录上页下页返回结束∫∫−−=RyRxdyedxe0022;)(202∫−=Rxdxe∫∫−−=SyxdxdyeI22∫∫−−=1221DyxdxdyeI∫∫−=Rded0022ρρθρπ);1(42Re−−π=∫∫−−=2222DyxdxdyeI);1(422Re−−π=当+∞→R时,41π→I,42π→I故当+∞→R时,,4π→I即4)(202π=∫∞+−dxex，故所求广义积分,21IIIQ);1(4)()1(4222220RRxRedxee−−−−π−π∴∫202π=∫∞+−dxex例12.将积分化为极坐标形式ρ=Ry=Rx2+1RR∫∫+−022+RRRxRyxyfx21)d(d)d(d21∫∫+00RRRxyxyfxD1D2..R0yxDd)(tandarctan00∫∫RRθfθρρ)d(tanarctan∫022=RθθfR...22xRy−=d)d(tanarctan00∫∫=RRθθfρρarctanR.I=I=机动目录上页下页返回结束二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）二、小结∫∫Dddfθρρθρθρ)sin,cos(.)sin,cos()()(21∫∫=θϕθϕβαρρθρθρθdfd.)sin,cos()(0∫∫=θϕβαρρθρθρθdfd.)sin,cos()(020∫∫=θϕπρρθρθρθdfd机动目录上页下页返回结束作业习题8-2(P164)7(2)(3)(5)；8(3)(4)；9(2)(3)；10(1)(3)；第三节目录上页下页返回结束,cos022:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤−θρπθπaDoxy解：θρcosa=Da.),(arccosarccos0∫∫−=aaadfdIρρθθρρ机动目录上页下页返回结束交换积分次序:).0(),(cos022≥=∫∫−adfdIaθππρθρθ思考题aθρoθρcosa=aρθarccos−=aρθarccos=2π2π−