第1章_控制系统状态空间表达式

第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态向量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数阵1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式经典控制理论：对线性定常系统，用输入输出关系的常微分方程或传递函数描述——外部描述，实际系统还包含其它独立的变量，无法描述；状态空间分析法：用一组状态变量所构成的一阶微分方程组来描述系统的动态特性，能反映全部独立变量变化——内部描述；且可方便处理初始条件；可应用于非线性系统和时变系统、多输入多输出系统及随机过程。本节学习内容及目标学习、理解和掌握状态空间方法的基本概念状态变量状态向量状态空间状态方程输出方程状态空间表达式输入输出关系不同的两类系统1.1.1~1.1.5状态变量,状态向量,状态空间,状态方程和输出方程动力学系统：能够储存输入信息的系统。00)(1)(1)()()(00tttduLiiduLtitudttdiL一类系统只要知道输入信息即可获得输出信息(系统的输出和输入之间是简单的代数方程的关系）；另一类系统除了输入信息外，还必须知道系统的一组初始信息才可获得确定的输出信息(输出和输入之间的关系通常用微分方程描述)，这组初始信息是初始时刻以前系统所存储的输入信息的体现。动力学系统的状态、状态变量及状态向量所谓动力学系统的状态，是指完全地描述(表征)系统时域行为的一个最小变量组，该变量组中的每个独立的变量称为状态变量，通常用xi(t)(i=1,2,3,...）来表示(简写为xi)。该变量组写成向量形式时称为状态向量。所谓完全描述，是指如果给定这组状态变量在t=t0时刻的值，以及输入在t≥t0时的时间函数u(t)，那么系统状态在t≥t0的任意时刻的时域行为xi(t)都能够完全确定。所谓最小，是指可完整描述系统时域行为的这个变量组中的变量最少，即每个变量之间相互独立(满足线性无关条件：任一变量无法为其它变量线性表示)。n21n21)()()((t)xxxtxtxtxxx，也可简写为：状态向量(状态矢量)与状态空间若系统状态包含n个独立的状态变量x1(t),...,xn(t)，将这些状态变量作为分量写成向量形式x(t)，则称为状态向量(或状态矢量)；以n个状态变量x1、x2、...、xn为坐标轴所构成的n维空间称为状态空间。状态空间中的任一点代表各个状态变量在某特定时刻下的一组特定值，即系统在某时刻的特定瞬时状态x(t)。随着时间推移，各瞬时状态在状态空间中可连成一条轨迹，称为系统的状态轨线，也称为系统的运动轨迹。关于系统独立状态变量的个数：对于n阶微分方程描述的系统，只需n个独立变量即可完整描述系统。即：当t=t0初始条件已知时，在给定t≥t0时间输入作用下，便能完全确定系统在任何t≥t0时刻的行为。这n个独立变量可选为系统的状态变量。对动力学系统，其微分方程阶数由独立储能元件个数决定，则：独立状态变量个数=独立储能元件个数。状态方程是指由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，即状态向量变化率与状态向量x及输入向量u的函数关系：输出方程：体现系统输出y与状态向量x及输入向量u的函数关系：状态方程与输出方程综合起来即为系统的状态空间表达式。)(uxfx,)(uxgy,状态方程、输出方程和状态空间表达式若用u(t)表示输入(信息)，用y(t)表示输出(信息)，则：uxxxx2121L10LRL1C10下：写成向量矩阵形式，如211c1xx01y也即,x则有y为输出y,u若指定x分方程如下：。根据电路机理构建微ix，ux不妨取：，故应有两个状态变量，L为两独立储能元件、C：1例图12c1uL1xLRxL1x也即，uL1iLRuL1i即u,uRidtdiLxC1x也即，iC1uiu即C，idtduC212cc21ccc状态方程输出方程)(u,xxf)(u,xgyuL10xxLRL1C10xxuL1xLRxL1ixxC1uxixux前例21212122c12c1，即：，，选取211c21221c2c1xx01xuyuLC10xLRLC110xuLC1xLRxLC1xxx则有uxu若选x，，即，，。uuuRCui得LC代入，uuRidtdi又由L；uC即i，iC1u1系统，由前面分析-图1cccccc不同。可能得到的状态空间表达式，变量选取不同的状态，若同一物理系统：此例说明关于状态空间表达式的几点说明系统的状态与系统的输出：两者在概念上不同，后者是人们希望从系统中获得的信息；前者是完全描述系统动态行为的一组信息。通常，输出是关于状态的函数(在线性系统中，输出常常是状态向量中某一个分量或几个分量的线性组合）。对于系统输出，通常要求是物理上可以测取的，而状态变量则不要求一定是可以测取的(而且通常是不能完全测取的)；但在工程实践中，为便于构造状态反馈，应尽量选择物理上易于测取的变量作为状态变量。对于只体现输出与输入关系的动力学系统(微分方程或传递函数描述)，状态变量的选取具有非唯一性。这种非唯一性是由于系统结构的不确定性造成的。对同一系统，状态变量选取不同，状态空间表达式也会不同(实现的非唯一性)。SISO定常系统：输入u和输出y均为标量；各个状态变量(分量)为x1,x2,...,xn，则：ddcccc；bbbb；aaaaaaaaaA；xxxxn21n21nnn2n12n22211n1211n21duxcxcxcyubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnn2211nnnn2n21n1n2n2n22212121n1n2121111ducxybuAxx:写成向量矩阵形式A：n×n维方阵，b：n×1维，c：1×n维，d：1×1维(标量)1.1.6状态空间表达式(1)单输入单输出定常系统(2)多输入-多输出定常系统（r个输入，m个输出）DuCxyBuAxx:写成向量矩阵形式rmr2m21m1nmn2m21m1mr2r222121n2n2221212r1r212111n1n2121111rnr2n21n1nnn2n21n1nr2r222121n2n2221212r1r212111n1n2121111udududxcxcxcyudududxcxcxcyudududxcxcxcyubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxaxy为m维输出向量。r维传输矩阵D为mn维输出矩阵C为mu为r维输入向量;r维输入矩阵B为nn维系统矩阵A为n；；；；mrm2m12r22211r1211mnm2m12n22211n1211m21r21nrn2n12r22211r1211nnn2n12n22211n1211n21dddddddddD;cccccccccC;yyyy;uuuu;bbbbbbbbbB;aaaaaaaaaA;xxxx：；：式中DuCxyBuAxx写成向量矩阵形式“状态空间表达式”向量矩阵形式书写练习：uxxyuxx2uxxxxxx32232123112212213111332312213211uxxyu2uxxyuxxux2xx2uuxxxxuxxx110yu1-20xxx01001-1-1-01xxx321321321213212121321321uu1012xxx011101yyuu01-1021xxx100102111xxx1.1.7状态空间表达式的系统框图ducxybuAxxDuCxyBuAxx单输入单输出系统多输入多输出系统信号传递：单线箭头：标量双线箭头：向量1.2状态空间表达式的模拟结构图在状态空间分析中，采用模拟结构图来反映系统中各个状态变量之间的信息传递关系；通常用方块图来简化表示模拟结构图，用于表示状态空间表达式的系统框图。本节学习内容及学习目标：1、理解模拟结构图的作用；2、学习和掌握模拟结构图的绘制方法(三种情形：根据系统的微分方程、状态空间表达式或传递函数绘制模拟结构图)。积分器加法器比例器模拟结构图：用于反映系统内部各状态变量之间信息传递关系的框图。系统模拟结构图由积分器、加法器、比例器这三种基本部件组成。模拟结构图不仅可直观反映状态变量之间的信息传递关系，也是建立系统状态空间表达式的有效方法。buaxx对于一维标量微分方程：1例单输入系统一个独立状态变量(因其为一阶系统)若取状态变量x1=x，则右图为描述系统状态变量传递关系的一个模拟结构图。系统模拟结构图1.根据系统的微分方程绘制模拟结构图则系统模拟结构图为：，微分方程可变换为，则系统＝若取状态变量111uaxxbxx系统模拟结构图buxaxaxax012x1x2x3例2：已知系统高阶微分方程单输入系统3个独立状态变量(3阶系统)buxaxaxax210变换为：选择状态变量xxxxxx321系统模拟结构图2132133221xxyu2x3x6xxxxxx例3：已知单输入单输出系统的状态空间表达式如右所示：系统模拟结构图2.根据系统的状态空间表达式绘制模拟结构图单输入：u单输出：y状态变量：x1，x2，x32221212212111122212122212122121112121111xcxcyxcxcyububxaxaxububxaxax例4：已知某个多输入多输出系统的状态空间表达式如右所示：系统模拟结构图两输入：u1，u2两输出：y1，y2状态变量：x1，x2关于模拟结构图的绘制方法总结根据系统的状态空间表达式或微分方程(组)绘制模拟结构图的步骤：(1)确定系统的输入、输出以及状态变量；(2)确定积分器的数量(状态变量个数或高阶微分方程的阶数)；(3)绘制积分器，并确定各状态变量在积分器后的位置；(4)根据系统的状态空间表达式或微分方程(组)，完成其它部分(加法器、比例器、信号流等)。微分方程→模拟结构图：不唯一(同一系统，状态变量选取方法不唯一，不同选取方法下的模拟结构图可能不同)；状态空间表达式→模拟结构图：唯一(状态变量已确定，故模拟结