7(3)偏导数与全微分

1第三节偏导数与全微分偏导数全微分连续性与可微性,偏导数与可微性小结思考题作业partialderivative第八章多元函数微分法及其应用totaldifferentiation2一、偏导数1.定义),(yxfz设函数,0yy固定为将),(),(0000yxfyxxfzxxzxx0lim存在,处在点),(),(00yxyxfz的某邻域在点),(00yx内有定义，,0时处有增量在而xxx函数有相应的增量如果极限xyxfyxxfx),(),(lim00000则称此极限为函数偏导数与全微分(称为关于x的偏增量).记为对x的偏导数,3记为,00yyxxxz,00yyxxxf,00yyxxxz或).,(00yxfx同理,可定义函数处在点),(),(00yxyxfz为yzyy0limyyxfyyxfy),(),(lim00000记为,00yyxxyz,00yyxxyf,00yyxxyz或).,(00yxfyxyxfyxxfxzxxx),(),(limlim000000对x的偏导数,对y的偏导数,偏导数与全微分4那么这个偏导数仍是yx、的二元函数,它就称为函数如果函数对自变量x的偏导函数(简称偏导数),记作,xz,xfxz或).,(yxfx同理,可定义函数),(yxfz对自变量y的偏导函数(简称偏导数),记作,yz,yfyz或).,(yxfy在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在,(,)zfxy(,)zfxy偏导数与全微分5结论:000000000000(,)(,)(,);(,)(,)(,)xxxxyyxxxxyyyyyydfxyfxyfxydxdfxyfxyfxydy偏导数与全微分6偏导数的概念可以推广到二元以上函数设12(,,,),nufxxx1111110(,,,,,)(,,,,,)limiiiniiinxifxxxxxxfxxxxxuxx则求多元函数12(,,,)nufxxx对某个变元ix的偏导数时,作关于该变元的一元函数来求导即可.只要把其他变元当作常量,而把函数当偏导数与全微分7求多元函数的偏导数例求的偏导数.lntanyzx利用一元函数),,(yxfx如求只需将y的求导法对x求导即可.看作常量,并不需要新的方法,例求的偏导数.(0)yzuxx偏导数与全微分8三个偏导数.2lnsin)(),,(xazzyxfxy求解求某一点的偏导数时,12]ln[sinxx)2,0,1(yf)2,0,1(zf)2,0,1(xf12lncos2xxx2,000y002z例变为一元函数,代入,在点(1,0,2)处的可将其它变量的值再求导,常常较简单.偏导数与全微分9证VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRV.1pVRT1:pTTVVp求证,,,,为常数为温度为体积为压强RTVp偏导数的记号只是一个整体记号,不能像一元函数的导数那样可看成是分子与分母的微分的商.例,pVRT已知理想气体的状态方程其中偏导数与全微分102、偏导数的几何意义),(yxfz设二元函数)),(,,(00000yxfyxM设在点),(000yxM有如图,),(yxfz为曲面偏导数.上的一点,0M),(yxfzyxzO过点0M作平面,0yy此平面与曲面相交得一曲线,曲线的方程为),,(yxfz.0yy),(0yxfz由于偏导数),(00yxfx等于一元函数),(0yxf的导数),(0yxf,0xx故由一元函数导数的几何意义0x0y偏导数与全微分11可知:0xyTxT0y),(yxfzyxzO),(0yxfz0M偏导数),(00yxfx在几何上表示曲线),(yxfz0yy在点)),(,,(00000yxfyxM处的切线对x轴的斜率;偏导数),(00yxfy在几何上表示曲线),(yxfz0xx在点)),(,,(00000yxfyxM处的切线对y轴的斜率.),(0yxfz偏导数与全微分12曲线在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角是多少?解,21),(xyxfxtan1)4,2(xf4在点(2,4,5)处的切线与y轴正向所成的倾角是多少?,2422xyxz曲线22,44xyzy偏导数与全微分13).0,0(),(0),0,0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当解例.),(的偏导数求yxf,)0,0(),(时当yx),(yxfxy222)(yx)(22yxxxy2,)()(22222yxxyy),(yxfy222)(yx)(22yxxyxy2.)()(22222yxxyx,)0,0(),(时当yx按定义得偏导数与全微分14)0,0(xf00lim0xx)0,0(yf00lim0yy注但前面已证,此函数在点(0,0)是不连续的.xfxfx)0,0()0,0(lim0yfyfy)0,0()0,0(lim0,)0,0(),(时当yx按定义得).0,0(),(0),0,0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当.),(的偏导数求yxf由以上计算可知,),(yxf在点)0,0(处可偏导,偏导数与全微分15偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导连续多元函数中在某点偏导数存在连续不了连续性.偏导数都存在,函数未必有极限,更保证偏导数与全微分16x=x0上的值有关,而与(x0,y0)邻域内其他点上所以偏导数存在不能保证函数说明因偏导数fx(x0,y0)仅与函数f(x,y)在y=y0上的值有关,偏导数fy(x0,y0)仅与函数f(x,y)在的函数值无关,有极限.偏导数与全微分17二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的().A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件D偏导数与全微分18二、全微分函数的变化情况.偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率.现在来讨论当各个自变量同时变化时偏导数与全微分19先来介绍全增量的概念),(yxfz设二元函数,时、增量yx),(),(yxfyyxxfz的在点称为),(),(yxyxf为了引进全微分的定义,全增量.处分别有在点、当变量),(yxyx域内有定义,函数取得的增量全增量.(,)Pxy在点的某邻偏导数与全微分20全微分的定义的全增量在点如果函数),(),(yxyxfz),(oyBxAz,有关、仅与、其中yxBA,)()(22yxyBxA,yx、处),(yx处的全微分.可表示为),(yxfz可微分,在点),(yx则称函数称为函数记作,dz即.dyBxAz函数若在某平面区域D内处处可微时,则称可微函数.这函数在D内的而不依赖于(,)zfxy在点偏导数与全微分21可微与偏导数存在有何关系呢？微分系数注yxz与是d.1之差是比与zzd.2yBxAzd全微分有类似一元函数微分的)(oyBxAzA=?B=?两个性质:全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.的线性函数;高阶无穷小.偏导数与全微分22类似一元函数的局部线性化,有二元函数的局部线性化.设函数00(,)(,),fxyxy在点可微0000,(,)(,)fxyfxyAxxByy则表示一个平面即,二元函数00(,)(,)fxyxy在点附近可以局部线性化.偏导数与全微分23三、连续性与可微性,偏导数与可微性多元函数在某点可微是否保证事实上,)(oyBxAz显然,结论:由全微分的定义有可得z0lim0多元函数可微必连续连续的定义不连续的函数函数在该点连续如果函数),(),(yxyxfz在点可微分,则函数在该点连续.)(lim0oyBxA一定是不可微的.1.可微与连续偏导数与全微分24(1).可微分的必要条件由下面的定理来回答：.dyyzxxzz(可微必偏导存在).定理1(可微必要条件)如果函数在点),(yxfz的则该函数在点),(yx可微分,),(yx,必存在且函数),(yxfz),(yx在点的全微分为yzxz、偏导数2、可微的条件偏导数与全微分25证)(oyBxAz总成立,),()0,(yxfyxxf|),(|xoxAAxyxfyxxfx),(),(lim0xz同理可得.yzB时，当0y上式仍成立,此时|,|xPyyxxP),(的某个邻域如果函数),(),(yxPyxfz在点可微分,yyzxxzzd),(),(yxyxfz在点如果函数则该函数可微分,),(yxfz且函数,必存在、偏导数yzxz的在点),(yx的全微分为在点),(yx偏导数与全微分26多元函数的各偏导数存在全微分存在．下面举例说明二元函数可微一定存在两个偏导数.一元函数在某点的导数存在微分存在．回忆:一元函数的可导与可微的关系?由定理1知偏导数与全微分结论：00(,)(,)zfxyxy当在点的偏导数存在时，00(,)(,)zfxyxy则在点可微00002200[(,)(,)]lim0xyxyzfxyxfxyyxy27如，.000),(222222yxyxyxxyyxf但两个偏导数都存在函数却不一定可微.(由偏导数定义可求得)0)0,0()0,0(yxff,)0,0(处有在点偏导数与全微分28])0,0()0,0([yfxfzyx,)()(22yxyx则22)()(yxyx22)()(xxxx,21])0,0()0,0([yfxfzyx处有在点)0,0(说明它不能随着0而趋于0,,0时当因此,.)0,0(处不可微函数在点如果考虑点),(yxP沿直线xy趋近于),0,0(),(o.000),(222222yxyxyxxyyxf偏导数与全微分29说明各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.这也是一元函数推广到多元函数出现的又函数是可微分的.多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在.一个原则区别.现再假定函数的则可证明各个偏导数连续,偏导数与全微分30),(),(yxfyyxxfz)],(),([yyxfyyxxf(2).可微分的充分条件*证)],,(),([yxfyyxf在该点的某一邻域内必存在的意思.定理2的如果函数),(yxfz,),(连续在、yxyzxz.可微分(今后常这样理解).用拉氏定理(微分充分条件)假定偏导数在点P(x,y)连续,就含有偏导数),(yx则该函数在点偏导数偏导数与全微分31),(),(yyxfyyxxfxyyxxfx),(1)10(1xxyxfx1),(11),(),(.),(),(yxfyyxxfyxyxfxxx令连续在点由)0,0(01yx其中偏导数与全微分32xxyxfx1),(yyyxfy2),(zyx21,00故函数),(yxfz在点),(yx处可微.同理),(),(yxfyyxf,),(2yyyxfyx