2 单相正弦交流电路_第二讲

2.2.2正弦量的相量表示由于正弦量可以用复平面的有向线段表示，而有向线段又可以用复数表示，故正弦量也可以用复数表示。为了和数学中的复数相区别，将电工学中表示正弦量的复数称为相量。1.正弦量相量的概念2.正弦量的相量表示形式正弦量的相量是用大写字母上面加点表示，如正弦量u＝Umsin（ωt＋ψ）V，其最大值相量的代数式为：)sin(cosjUUmm由上式可知：正弦量的最大值相量，其模为正弦量幅值Um，辐角为初相位角ψ。为了区别电工中电流的表示imjmmUeUU与有向线段的表示法相同，除了代数形式外，还可以表示成指数式和极坐标式，即由于在分析和计算正弦交流电路中常用到正弦量的有效值，故我们常常把有效值相量称为正弦量的相量，其模为正弦量的有效值，辐角为仍正弦量的初相角，如上面电压u＝Umsin（ωt＋ψ）V的相量为UUe)jsinU(cosUj注意：（1）只有正弦交流量才可以用相量来表示；（2）正弦量的相量形式只表示它，而不等于它，即；（3）应取小于1800。)tsin(UUmm例2-2-2写出下面正弦量的有效值相量的所有形式。A)270314sin(10.A)60314sin(3.A)150314sin(2.V)45314sin(2220.321tidtictibtua；；解：V45220V220V21102110)2222(220V)45sin45(cos220.45jejjjUa）（A1501A(A)5.0866.0)2123(1)150sin150(cos1A)150314sin(2.1501jejjjItib＝－＝2120.3sin(31460)3sin(314120)3[cos(120)sin(120)]2131.52()1.061.84(A)221.52A1.52120AjcittIjjje＝＝－3390.10sin(314270)10sin(31490)10(cos90sin90)7.07(A)27.07A7.0790AjdittIjje＝例2-2-3写出下面相量的正弦量的函数形式。V10A305)A(1120121jeUIjI；；解：先将i1的有效值相量转换成指数式A2111135135221jjeejI故：)120sin(210A)30sin(25A)135sin(2)135sin(22121tutitti若正弦电压u的有效值相量为：jUAjBUeU则：当A0,B0时，ψ在第一象限；当A0,B0时，ψ在第二象限；当A0,B0时，ψ在第三象限；当A0,B0时，ψ在第四象限。注意：由相量的代数式化为指数式时其初相角所在的象限。2.2.3相量图在同一虚平面内，对于同频率正弦量，将它们相量的初始位置以有向线段的形式画出来，这样的图称为相量图。各相量与实轴的夹角为初相角，其长度为相量的模。注意：（1）只有同频率的正弦量才可以画在同一相量图上；（2）在相量图上，不仅可以比较同频率正弦量的大小关系，还可以比较它们的相位。按逆时针方向，在前面的相量，其相位超前（但1800）。A34A9010A3V22032601jIIeIUj解：相量图如图2-2-3所示。U1I2I3I143+1+j0图2-2-3例2-2-4的相量图例2-2-4做出下列相量的相量图。2.2.4虚数单位j的意义－－－旋转90o算子由于j)]90jsin()90[cos(1e90jjUeU)90j(90jjUeeUej)(U+1+jUOUU+j-j图2-2-3j的意义则若设有一相量若此相量与±j相乘时，即由上式可以看出，当一个相量乘以±j后，产生的新相量的模与原相量相同，但辐角却逆时针或顺时针旋转了900，如图2-2-4所示。1jj若+j乘以+j，则相当于虚轴逆时针旋转了900，为实轴的反方向，即O+1+j-1在计算正弦交流电路时，利用三角函数计算很繁琐；用正弦波形虽可以将几个正弦量的相互关系在图形上清晰表示出来，但作图不方便，且结果不准确。而相量运算是将三角函数运算变成代数运算，并同时求出正弦量的大小和相位，是分析正弦交流电路的主要运算方法。另外相量图也是分析正弦电路的辅助方法。表示正弦量有三种方法：三角函数式，波形图和相量形式例2-2-5已知两正弦电流，试用三种方法计算。A)90sin(26A)sin(2821titi；21iii1282sin()62sin(90)82sin()62[sin()cos90cos()sin90]82sin()62cos()102sin(37)Aiiitttttttt解：1.三角函数式：21,,iiit090037i1i2i图2-2-4例2-2-5的波形图3.相量计算：12123780A690A806908(cos0sin0)6(cos90sin90)8610AjIIIIIjjje，故：A)37sin(210ti2.作波形图：如图2-2-4所示1I8A2I6A10AI37图2-2-5例2-2-5的相量图3786arctgA106822＝I故：A)37sin(210ti4.作相量图：如图2-2-5所示，由图可得：2.3单一元件的正弦交流电路在正弦交流电路中，不仅有电阻元件，还有电感元件和电容元件，其两端的电压与电流不仅有大小的关系，还有相位的关系，除此之外，还有功率问题。因此在讨论复杂的正弦交流电路之前，先讨论单一元件的正弦交流电路。2.3.1纯电阻元件的正弦交流电路1.有效值的关系一、电压与电流的关系R图2-3-1纯电阻元件的正弦交流电路RuRi对于线性电阻元件，若在其两端加一正弦交流电压uR，如图2-3-1中,则会产生电流iR。设电流为，为参考正弦量，即tIiRRsin20RitsinU2tRsinI2RRRRRiu由欧姆定律得R图2-3-1纯电阻元件的正弦交流电路RuRi则：RIURR或RIURR上述说明电阻两端的电压与电流为同频率的正弦量，且电阻两端电压有效值与电流有效值之比等于电阻R，且电压的初相角ψRu＝0。从上面的分析可以看出，电阻元件两端的电压与电流之间的相位差为零，即0RRRiu说明纯电阻两端的电压与电流同相位，其相量图如图2-3-2所示。+1+jOURIR图2-3-2电阻两端电压与电流的相量图3.相量形式将电压与电流写成相量形式，即0UeUUR0jRR0IeIIR0jRRRIUeIeUIURR0jR0jRRR则：或者RIURR2.相位关系二、功率说明电阻两端电压相量与电流相量符合欧姆定律，即为欧姆定律的相量式，如2-3-3图所示。RRURI图2-3-3相量表示的电阻元件正弦交流电路a.瞬时功率pR:等于电压瞬时值与电流瞬时值的乘积,即t)2cos1(IU2t2cos1IU2tsinIU2tsinI2tsinU2RRRR2RRRRRRRiup由上式可以看出，瞬时功率是以2ω角频率变化的，而且由于,故瞬时功率pR≥0，即电阻为取用电能的元件1t2cos如图2-3-4为电阻两端电压、电流及瞬时功率的波形图。tOpuipui,图2-3-4电阻元件上电压、电流及瞬时功率的波形图RRRRRRb.平均功率PW（有功功率）瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率或有功功率。即RURIIUdtt)2cos1(IU1dtT1P2R2RRR0RRT0RRp上式与直流电路电阻元件功率的计算公式相同，但注意这里电压UR和电流IR不是直流值，而是交流电压与电流的有效值。一、电压与电流之间的关系1.瞬时值的关系在图2-3-5中，若忽略线圈的电阻，则L为不带铁芯的纯电感线圈。LuLiLeL图2-3-5纯电感元件的正弦交流电路2.3.2纯电感元件的正弦交流电路若加正弦电压，即)sin(2LLLtUu则会产生同频率的正弦电流iL。由电磁感应定律可知，交变的电流产生交变的磁通；而交变的磁通又产生感应电动势，且由电磁感应定律可知，感应电动势与磁通的关系为dtdNLe其中负号说明感应电动势的变化与磁链Ψ＝NΦ的变化相反。LLNi或LNLi注：电感的单位为亨利（H）或毫亨利（mH）对于无铁芯的电感线圈元件，其磁链与电流成正比，其系数即为电感参数L，简称为电感，即将代入得：LLNidtdNLedtdLdtdLLLLiie对于图2-3-5，根据kVL定律可得LuLiLeL图2-3-5纯电感元件的正弦交流电路0LLeu则：dtdLLLLieu这就是正弦交流电路中纯电感元件两端的电压瞬时值和电流瞬时值得关系，即电感元件两端的电压与电流的变化量成正比。设电流iL为参考正弦量，即tsinI2LLi)90tsin(U2cos2sin2LLωtIωLdtωt)Id(LdtdiLuLLL2.有效值的关系LuLiL图2-3-5纯电感元件的正弦交流电路其初相角为ψLi＝0则可得电感两端的电压为其中：LLLLXILIU或fLL2XIULLL电感两端的电压与电流为同频率的正弦量，其初相角ψLu＝900，电感元件两端电压有效值与电流有效值之比等于感抗XL。其中XL＝ωL＝2πfL，其单位也是欧姆（Ω），其大小与频率有关。当f＝0即为直流时，XL＝0，电感元件相当于短路；当f增加时，XL也随之增大。由上面分析可以看出：tsinI2LLi)90tsin(U2LLufLL2XIULLL从上面可以得出，电感元件两端的电压与电流之间的相位差为900，且电压超前电流900角，即90090LLLiu其相量图如图2-3-6所示。+1+jLILUO图2-3-6纯电感元件两端电压与电流的相量图3.相位关系tsinI2LLi)90tsin(U2LLu3.相量形式注：电工学中规定：若电压超前电流，相位差0；其若电压滞后电流，相位差0。故对于纯电感元件的正弦交流电路，其L=9000,说明电压超前电流900用相量的形式表示电感元件两端的电压与电流，即90UeUUL90jLL0IeIIL0jLLtsinI2LLi)90tsin(U2LLu则：L90jLL0jL90jLLLjXeIUeIeUIU或者：LLLLIL2jIjXUfLULIjXL图2-3-7相量表示的电感元件正弦交流电路此式也可以称为电感元件的欧姆定律相量式，只是用jXL代替电阻R。其电路如图2-3-7所示。LLLLIL2jIjXUf二、功率a.瞬时功率pL:t2sinIU2t2sinIU2tsintcosIU2tsinI2)90tsin(U2LLLLLLLLLLLiup由上式可以看出，电感元件的瞬时功率也是一个角频率为2ω的正弦量OLuLiLpt图2-3-8电感元件的电压、电流及瞬时功率波形图T412345从图中可以看出，在电流的第一个1/4周期内，由于PL0，故电感相当于负载元件，取用电能，即将电能转化成磁能存储在电感元件中。而在电流的第二个1/4周期内，由于PL0，故相当于电源元件，发出电能，即将存储的磁能转化为电能释放出来。如图2-3-8为纯电感元件的电压、电流与瞬时功率的波形b.平均功率PL