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牛吃草问题（牛顿问题）牛吃草问题最先在牛顿的《普通算术》中出现，他提出一个非常有趣的问题：有一片牧场，已知有27头牛，6天把草吃尽；如果有23头牛，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？人们把这道题叫做“牛顿问题”，也称作“牛吃草问题”。1、牛吃草问题牛顿2、牛顿牧场牛顿牧场是理想牧场，在这个牧场上草是匀速生长的。3、牛吃草问题三部曲（1）先算新生草量（2）再算原有草量（3）最后计算问题有一片牧场，已知有27头牛，6天把草吃尽；23头牛，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？牧草总量不知道，它随着时间的增长而增长但原来草坪上有的草的数量是永远不变的有一片牧场，已知有27头牛，6天把草吃尽；23头牛，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？把每头牛每天的吃草量看做一个单位，或者我们可以说是一份有一片牧场，已知有27头牛，6天把草吃尽；23头牛，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？设：每头牛每天的吃草量是1份。27×6=162……原草量+6天的生长量23×9=207……原草量+9天的生长量有一片牧场，已知有27头牛，6天把草吃尽；23头牛，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？设：每头牛每天的吃草量是1份。每天新生草量：（207-162）÷（9-6）=15原草量：162-15×6=72或207-15×9=7227×6=162……原草量+6天的生长量23×9=207……原草量+9天的生长量草地上原有的草162-15×6=72新草地上原有的草162-15×6=72新草地上原有的草新新新新新新新新新15×6=90162-15×6=7215头吃剩下21-15=6头72份15份+6头牛吃72份草能吃几天？72÷（21-15）=12天有一片牧场，已知有27头牛，6天把草吃尽；23头牛，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？设：每头牛每天的吃草量是1份。每天新生草量：（207-162）÷（9-6）=15原草量：162-15×6=72或207-15×9=72假设15头牛专吃每天新生长的草，剩下的牛吃原有的草，可吃天数：72÷（21-15）=12（天）27×6=162……原草量+6天的生长量23×9=207……原草量+9天的生长量例1牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份10×20=200……原草量+20天的生长量15×10=150……原草量+10天的生长量草每天的生长量：（200-150）÷（20-10）=5原草量：200-20×5=100或150-10×5=1005头吃剩下25-5=20头100份5份+20头牛吃100份草能吃几天？100÷（25-5）=5天[自主训练]牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份9×20=180……原草量+20天的生长量15×10=150……原草量+10天的生长量草每天的生长量：（180-150）÷（20-10）=3原草量：180-20×3=120或150-10×3=1203头吃剩下18-3=15头120份3份+15头牛吃120份草能吃几天？120÷（18-3）=8天例2：有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？设：每头牛每天的吃草量是1份。10×20=200……原草量+20天的生长量15×10=150……原草量+10天的生长量每天新生草量：（200-150）÷（20-10）=5原草量：200-5×20=100或150-5×10=100假设5头牛专吃每天新生长的草，剩下的牛吃原有的100份草，那剩下多少牛呢？100÷4=25（头）共有多少头牛呢？25+5=30（头）【自主训练】有一块牧场，可供5头牛吃20天，6头牛吃15天，则它可供多少头牛吃6天？设：每头牛每天的吃草量是1份。5×20=100……原草量+20天的生长量6×15=90……原草量+15天的生长量每天新生草量：（100-90）÷（20-15）=2原草量：100-2×20=60或90-2×15=60假设2头牛专吃每天新生长的草，剩下的牛吃原有的60份草，那剩下多少牛呢？60÷6=10（头）共有多少头牛呢？10+2=12（头）例3：有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，或21头牛8天可以吃完。要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？24×6=144……原草量+6天的生长量21×8=168……原草量+8天的生长量每天新生草量：（168-144）÷（8-2）=5设：每头牛每天的吃草量是1份。例4一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进入了一些水，如果用12人舀水，3小时舀完，如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完，现在想在6小时舀完，需要多少人？解：假设1人1小时舀1份水12×3=36份……原水量+3小时进水量5×10=50份……原水量+10小时的进水量每小时的进水量：（50-36）÷（10-3）=2份原水量：36-3×2=30份或50-10×2=30份30份2份+30份水需要几个人6小时舀完？30÷6=5（人）2人5+2=7（人）复习1、几天把草吃完?2、这片草地够多少头牛吃?[自主训练]－水库水量－定，河水均匀入库，5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干．若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机?解：假设1台抽水机1天抽1份水5×20=100……原水量+20天进水量6×15=90……原水量+15天的进水量每分钟的进水量：（100-90）÷（20-15）=2原水量：100-20×2=60或90-15×2=6060份2份+60份水需要几台抽水机6天抽完？60÷6=10（台）2台共需要10+2=12（台）例5某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？假设每分钟每个检票口进的人数为1份4×30=原有等待的人数+30分钟新增的人数5×20=原有等待的人数+20分钟新增的人数每分钟新增的人数=（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）原有等待的人数=4×30-30×2=60（份）专门安排2个检票口检新增加的人60÷（7-2）=12（分钟）例6：林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）例7：有一片青草，每天的生长速度都是相同的，已知这片青草可供15头牛吃20天，或者是供33头牛吃12天，如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么8头牛与64只羊一起吃，可以吃上多少天？15头牛——20天33头牛——12天8头牛+64只羊——几天？64只羊=16头牛，相当于求24头牛吃几天的问题例6由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份20×5=100份……原草量-5天的减少量15×6=90份……原草量-6天的减少量草每天的减少量：（100-90）÷（6-5）=10份原草量：100+5×10=150份90+6×10=150份剩下150-100=50份150份10份-50份草可供多少头牛吃10天？（150-10×10）÷10=5头10天减少10×10=100份[自主训练]由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份30×8=240份……原草量-8天的减少量25×9=225份……原草量-9天的减少量草每天的减少量：（240-225）÷（9-8）=15份原草量：240+8×15=360份或220+9×15=360份21份15份+每天吃21份360÷（21+15）=10天每天减少15份例5自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？20×5=自动扶梯的级数-5分钟减少的级数15×6=自动扶梯的级数-6分钟减少的级数男孩：女孩：每分钟减少的级数=(20×5-15×6)÷(6-5)=10(级)自动扶梯的级数=20×5+5×10=150（级）[自主训练]两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问该扶梯共有多少级？3×100=自动扶梯级数+100秒新增的级数2×300=自动扶梯级数+300秒新增的级数自动扶梯级数=（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（级）每秒新增的级数：3×100-100×1.5=150（级）[自主训练]盛德美9时开门营业，开门前就有人等候入场，如果第一个顾客来时起，每分钟来的顾客人数同样多，那么开4个门等候的人全部进入商场要8分钟，开6个门等候的人全部进入商场只要4分钟，问：如果开3个门，最后一个顾客到达时是几时几分？假设每分钟每个检票口进的人数为1份4×8=原有等待的人数+8分钟新增的人数6×4=原有等待的人数+6分钟新增的人数每分钟新增的人数=（4×8-6×4）÷（8-4）=2（份）原有等待的人数=4×8-8×2=16（份）16÷（3-2）=16（分钟）60-16=44（分钟）答：如果开3个门，最后一个顾客到达时是8时44分。例6有3个牧场长满草，第一牧场33公亩，可供22头牛吃54天，第二牧场28公亩，可供17头牛吃84天，第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？解：假设1头牛1天吃1份草22×54=1188份平均每公顷有草量：1188÷33=36份第二块草量为：17×84=1428份平均每公顷有草量：1428÷28=51份第一块草量为：每公亩草每天的生长量为：（51-36）÷（84-54）=0.5份每公亩的草量：36-54×0.5=9份或51-84×0.5=9份（40×9+40×0.5×24）÷24=35（头）第三块牧场可供：[自主训练]一个牧场上长满了青草，这些牧草可供5只羊吃30天，或者可供7只羊吃20天，现在牧场上有8只羊，10天后，有2只羊死亡，剩下的羊多少天可以将牧场上的草吃完？解：假设1只羊1天吃1份草草每天的生长量为：（5×30-7×20）÷（30-20）=1份原有的草量为：5×30-30×1=120份或7×20-20×1=120份7只羊10天吃掉多少份？7×10=70份原有的草量还剩多少份？50÷5=10天还剩几只羊？120－70=50份7－2=5只多少天吃完？