26.1.3 二次函数的图象和性质(4)

－222464－48212yx22yx2yx26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1．的顶点坐标是________，对称轴是__________2．怎样把的图象移动，便可得到的图象？（h，k）复习提问2yaxhk直线x＝h23yx2325yx将抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位就得到的图象.23yx2325yx3．的顶点坐标是，对称轴是．2325yx(－2，－5)直线x＝－24．在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化？有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、形状我们复习了将抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位就得到的图象，将化为一般式为那么如何将抛物线的图像移动，得到的图像呢？新课23yx2325yx2325yx23127yxx23yx23127yxx说出的对称轴、顶点坐标、及增减性和最值。216212yxx我们知道，像这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函数也能化成这样的形式吗？khxay2216212xxy216212xxy21)12(212xx21)36612(2122xx2118)6(212x3)6(212x1．用配方法把2yaxbxc2yaxhk化为的形式。的形式，求出顶点坐标和对称轴。215322yxx2yaxhk例1用配方法把化为215322yxx21342x解：顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－32169952xx21652xx21322x说出顶点，对称轴，及最值。2yaxbxc24,24bacbaa2bxa所以抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线。2yaxbxc22222bbbcaxxaaaa222424bacbaxaa22424bacbaxaa2bcaxxaa因此，抛物线的对称轴是顶点坐标是一般地，我们可以用配方求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴cbxaxy2abacabxa44222cbxaxy2abx224,24bacbaa抛物线的顶点与对称轴公式一般地，因为抛物线的顶点是最低（高）点，所以当时，二次函数有最小（大）值cbxaxy2abx2cbxaxy2abac442的形式，求出对称轴和顶点坐标．21522yxx2yaxhk例2用公式法把化为21522yxx15,1,22abc221541144221,2112422422bacbaa21122yx解：在中，，∴∴顶点为（1，－2），对称轴为直线x＝1。的图像，利用函数图像回答：例3画出2286yxx(1)x取什么值时，y＝0？(2)x取什么值时，y＞0？(3)x取什么值时，y＜0？(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？解：配方22860yxx6)444(22xx2)2(22xx列表xy22100－6304－6…………xy2286yxx由图像知：(1)当x＝1或x＝3时，y＝0；(2)当1＜x＜3时，y＞0；(3)当x＜1或x＞3时，y＜0；(4)当x＝2时，y有最大值2。所以当x＝2时，解法一（配方法）：2281yxx22277x7y最小值＝－2241xx224441xx例4当x取何值时，二次函数有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx解法二（公式法）：因为a＝2＞0，抛物线有最低点，所以y有最小值，2281yxx224218842,7222442bacbaa－所以当x＝2时，7y最小值＝－总结：求二次函数最值，有两个方法．(1)用配方法；(2)用公式法．又例5：已知函数，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。211322yxx解法一：102a∴抛物线开口向下，21169922xx21913222x21352x∴对称轴是直线x＝－3，211322yxx当x＞－3时，y随x的增大而减小。∵解法二：102a∵∴抛物线开口向下，331222ba∴∴对称轴是直线x＝－3，当x＞－3时，y随x的增大而减小。例6：已知二次函数212321ymxmxmm的最大值是0，求此函数的解析式．解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．21041322041mmmmm，①②由②解方程得121,22mm不合题意，舍去所求函数解析式为21111232,222yxx21122yxx即相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若a①a＞0开口向上；抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。②a＜0开口向下。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线2bxa①若b＝0对称轴为y轴，②若a，b同号对称轴在y轴左侧，③若a，b异号对称轴在y轴右侧。(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)，①c＝0抛物线经过原点；②c＞0与y轴交于正半轴；③c＜0与y轴交于负半轴。已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．解：(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；判断a的符号(2)因为对称轴在y轴右侧，所以02ba，而a＜0，故b＞0；判断b的符号(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c＞0；判断c的符号(4)因为抛物线与x轴有两个交点，令y=0时此方程有两个不等根所以240bac判断b2－4ac的符号ax2＋bx＋c=0，且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；(5)因为顶点横坐标小于1，即12ba判断2a＋b的符号(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；判断a＋b＋c的符号(7)因为图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1)＋c＜0，所以a－b＋c＜0．判断a－b＋c的符号121xy轴相交于负半轴且与图象经过点的图象开口向上，二次函数y),)(,(cbxaxy.012152______cba)(c)(b)(a)()a(其中正确结论的序号是问：给出四个结论：04030201______1)4(1)3(02)2(0)1()(是其中正确结论的序号问：给出四个结论：acabaabcb4321142303212120211000421212.D.C.B.A)(a)(ba)(ba)(ba)().,(y,x,x),x)(,x(xcbxaxy.的个数为其中正确下列结论：轴交于点与两点，且轴交于的图象与已知二次函数2.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-3-2-1123451212xy矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为，场地的面积探究用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？即可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．由公式可求出顶点的横坐标．ml260分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值．S＝l(30－l)S＝－l2+30l(0l30)lsO51010020015202530也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大（S＝225m2）1512302abl因此，当时，22514304422abacS有最大值，S＝－l2+30l(0l30)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当【拓展体验】如图所示，将一些围棋子按①②③④的方法摆放下去：●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●①②③④设第n个图形中的围棋子的总数目为S，解答下列问题：（1）按要求填表：n12345···S···（2）写出n分别是8，9，10时，S的值。（3）根据以上的结果，猜想S与n之间存在着怎样的函数关系，并写出其关系式。136101536，45，55。2)1(nnSnnS21212即：