第六章平均指标和标志变异指标

第5章平均指标和标志变异指标平均指标的意义和作用数值平均数位置平均数标志变异指标6.1平均指标的意义和作用6.1.1平均指标的意义平均指标（Averageindicator）又称平均数，反映现象总体各单位某一数量标志值的典型水平、一般水平和代表性水平。平均指标是社会经济现象中最常用的一种综合指标平均指标的显著特点是：●它不是某一单位的具体数值，而是代表总体某种数量标志的一般水平，是总体各单位的代表值●把总体各单位标志值的差异给抽象化了，它是一个抽象化的数值正是由于平均指标的“抽象化”特征，当我们计算出某地平均每户人口规模3.86人时，不必对数值进行四舍五入，尽管“3.86人不存在”。6.1.2平均指标的作用1.可以反映总体各单位分布的集中趋势2.可以对现象在不同空间、时间上进行比较分析3.可以分析现象之间的依存关系4.可以作为评价事物的参考依据5.可以进行数量上的估算6.1.3平均指标的种类平均指标按其所属总体的时间范围不同分为两种静态平均数动态平均数反映同一时间范围内总体各单位某一数量标志一般水平的平均指标反映不同时间而同一空间范围内总体某一数量标志一般水平的平均指标本章主要讨论静态平均数，动态平均数将在时间数列一章专门讨论。静态平均数按其计算方法的不同分为两种：数值平均数和位置平均数凡根据总体各单位标志值计算的平均数，称为数值平均数。常见的主要有：算术平均数、调和平均数和几何平均数等凡根据总体标志值在分配数列中的位置确定的平均数，称为位置平均数。常见的主要有众数和中位数等6.2数值平均数6.2.1算术平均数1.算术平均数（arithmeticmean）的意义是总体标志总量与总体单位总量对比的结果基本计算公式总体单位总量总体标志总量算术平均数算术平均数与强度相对指标都是比值，都有“平均”含义，但两者明显区别在于算术平均数的分子和分母是同一个总体的两个总量指标，分子是标志总量，分母是单位总量，而且分子、分母位置不能互换强度相对指标分子和分母分属两个不同总体的总量指标，且分子分母位置颠倒有意义，它有正、逆指标之分2.简单算术平均数将各单位的标志值xi直接相加得出标志总量，再除以总体单位数n，就得到简单算术平均数。用公式表示为nXXXXn21nXnii1nX式中：X—算术平均数；X1，X2，…，Xn—总体各单位标志值；n—总体单位数；∑—总和符号。【实例6.1】一个公司有5个部门，每个部门员工数分别为：24，13，19，26和11，求平均每部门的人数。解：平均人数===18.6（人）511261913245933.加权算术平均数如果调查所得的原始资料已经经过分组整理，形成了变量数列，则计算算术平均数要采用加权算术平均数的方法。计算过程是：将各组的变量值与各组的单位数相乘，计算出各组标志总量，各组标志总量汇总得出总体标志总量，然后除以各组单位数之和即总体单位总量，得到平均数计算公式为fxffffffxfxfxfxxnnn321332211【实例6.2】服装商店要销售100件毛衣，其中20件大号毛衣，每件200元，50件中号毛衣，每件190元，30件小号毛衣，每件180元。计算每件毛衣平均价格。解：根据题意，可列出计算表如下销售价格（元）200190180合计件数205030100销售总价值（元）40009500540018900xfxf===189（元）xfxf1001890010020*20010050*19010030*180++=ffxx【说明】10当权数相等时，加权算术平均数简单算术平均数===xfxf10030*18050*19020*20020权数不但可以用次数、频数（即总体各组单位数）这种绝对数表示，还可以用比重、频率这种相对数表示。此时，加权算术平均数公式可以演化为：iiiiiiffXffXXffXffXffXnn2211则有令iiffiinnXXXXX2211公式的变形加权算术平均数的特征加权算术平均数受两个因素的影响：①变量值的大小；②权数的结构。权数有绝对数权数和相对数权数两种。绝对数权数就是变量值个数以绝对数形式表示，即次数或频数；相对数权数则是变量值个数以相对数形式表示，即频率。在计算加权算术平均数时，还会遇到权数的选择问题。选择权数的原则是，务必使各组的标志值与其乘积等于各组的标志总量，并且具有实际经济意义。在分配数列条件下，一般来说，次数就是权数。但也有例外，特别是用相对数或平均数计算加权算术平均数时，要特别注意。问题2：十元钱买3千克蔬菜，平均每千克多少钱？单价=总金额/总重量=10/3≈3.33问题1：每千克蔬菜价格为1.8元，1元钱能买多少千克蔬菜？总重量=总金额/单价=1/1.8元【例6.5】3个蔬菜超市销售同一种蔬菜，但价格不同，每千克价格分别为1.8元，2元，2.3元。若在3个超市各买1元钱的这种蔬菜，则蔬菜的平均为多少价格6.2.2调和平均数01.23.21218.11111x是各个标志值倒数的算术平均数的倒数，故又称为倒数平均数1.简单调和平均数各个标志值倒数的简单算术平均数的倒数。其计算公式为xnxxxxnxnh111113212.加权调和平均数加权调和平均数是各个标志值倒数的加权算术平均数的倒数xmmxmxmxmxmmmmmxnnnh332211321其计算公式为【例6.6】学校食堂购进某种蔬菜，相关资料如表5.5所示，求蔬菜的平均价格。表5.5蔬菜价格资料及其计算表购买地点甲超市乙超市丙超市合计价格X（元/千克）1.822.3-购买金额m（元）20151045购买量m/x（千克）11.117.54.3522.9696.196.2245332211321nnnhxmxmxmxmmmmmx解：调和平均数的特点：（1）调和平均数是根据总体的全部变量值计算的结果。当资料不完整时，无法计算。（2）调和平均数易受极端值的影响，而且受极小值的影响大于受极大值的影响。这是因为调和平均数中变量值采用的是倒数，小数字的倒数值大于大数字的倒数值。（3）调和平均数的应用范围较小。如果在变量值中有一项为0，则无法求其确定的调和平均数。6.2.3几何平均数几何平均数是若干项变量值的连乘积开若干次项数的方根。它是计算平均数的另一种形式。它主要用于计算比率或速度的平均。当所掌握的变量值本身是比率的形式，而且各比率的乘积等于总的比率时，就应采用几何平均法计算平均比率。根据所掌握的资料不同，几何平均数分为简单几何平均数和加权几何平均数1.简单几何平均数简单几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。nnnGxxxxxx321式中：(Xi—数列中第i个变量值(i=1，2，…，n)n—变量值个数∏—连乘符号)【实例】产品的生产往往需要几道生产工序，只有在第一道工序合格的产品才能进入第二道工序。现已知纺织厂纺纱车间产品合格率为91%，织布车间产品合格率为89%，印染车间产品合格率为87%，求三个车间平均产品合格率。解：由于后续车间的合格率是在前一车间产品合格基础上计算的，所以全厂产品的总合格率并不等于各车间产品合格率的总和，而是各车间产品合格率的连乘积，因此要采用几何平均法计算各车间产品平均合格率。即产品平均合格率%99.88%87%89%913321nnGxxxxx2.加权几何平均数与算术平均数一样，当资料已经经过整理，则应以各变量值出现的次数为权数，计算加权几何平均数。其计算公式为：ffnfffGnxxxxx321321【实例】一条产品流水线由12道工序组成，其中，合格率为98%的有2道工序，合格率为96%的有5道工序，合格率为92%的有3道工序，合格率为89%的有2道工序。求产品总平均合格率。解：产品总平均合格率为：%12.94%89%92%96%98122352Gx6.3位置平均数数值平均数都是根据标志值计算得到的，而位置平均数是根据总体各单位标志值所处的位置确定的。位置平均数主要包括众数、中位数和四分位数。6.3.1众数1.众数mode的意义指总体中出现次数最多的标志值，是总体各单位一般水平的代表值，反映现象的集中趋势。用表示。众数可能不存在或不惟一OM鞋的号码大小，不需要全面登记所有鞋码进行平均，只用生活中最普遍的、成交量最大的尺码，即众数，它反映了人们一般的需求。2.众数的确定⑴由未分组资料确定众数在资料未分组情况下，众数的确定很简单。只需找出次数最多的标志值即可。例如，一组学生年龄分别为18，19，19，20，20，20，20，22。则众数为20。若学生年龄为：18，19，19，19，20，20，20，22，则有双众数，分别是19、20。若学生年龄为：16，17，18，19，20，21，22，23，则不存在众数。⑵由单项式数列确定众数由单项式变量数列确定众数，可直接观察次数，出现次数最多的标志值就是众数。（2）由单项式数列确定众数。在单项数列情况下，次数最多的组的标志值便是众数，表5.6所示。表5.6某商场销售成年女鞋资料表女鞋号码(码）销售量（百双）351.1362375382.1390.6400.2合计10.9从表5.6中可以看出，出现次数最多（5百双）的变量值是37码的鞋，因此，37码就是该商场女鞋销售的众数。⑶由组距数列确定众数由组距数列确定众数，首先要由最多次数来确定众数所在组，然后再用比例插值法计算众数。下限公式：上限公式：式中：(M0—众数；L—众数组的下限；U—众数组的上限；△1—众数组次数与前一组次数之差；△2—众数组次数与后一组次数之差；d—众数组组距。)dLM2110dUM2120表6-52003年某地职工家庭人均月收入资料表人均月收入（元）家庭户数（户）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900～10001000以上2606601800320020001000800600400合计10720从表6-5中的家庭户数列可知，家庭户数最多的是3200户，它所对应的人均月收入为500～600元。因此，500～600元这一人均月收入组就是众数组，它反映了人均收入的一般水平。然后利用下限公式或上限公式计算众数的近似值：根据表中的资料，将有关数字代入下限公式，得到众数的近似值：85.5531001200140014005000M3.众数的特点及应用⑴众数是根据变量值出现的次数确定的，而不是通过所有变量值计算得到的，所以，众数不受到极端变量值的影响。众数的这一特点，是数值平均数所不具备的。在实际工作中，众数用得最多的是具有明显偏态集中趋势的次数分配。例如，按照统计国际惯例，对家庭收入分配数列，工人周工资分配数列，某种债券息票率分组的行情次数等进行的分析，都采用出现次数最多的众数，得到“最普通的家庭收入额”，“最普通的工人周工资金额”，“最常见的外汇率、息票率”等。⑵众数是出现次数最多的变量值，如果数据分布没有明显集中趋势，众数可能不存在；如果有两个最高次数，也可以有两个众数（bimodal）。只有在总体单位比较多，而且又明显地集中于某个变量值时，计算众数才有意义。⑶众数主要用于测度定类数据的集中趋势，当然也适用于作为定序数据以及定距和定比数据集中趋势的测度值。众数是惟一一个能用在名词数据上的平均数。例如，一项对大学生的研究包括了10个心理学专业的学生，20个英语专业的学生和6个管理专业的学生。我们无法计算这些专业的平均数，但我们可以指出众数是英语专业，因为它是出现次数最多的专业。在这里，“英语专业”是定类数据的集中趋势。6.3.2中位数1.中位数median的意义将现象总体中各单位的标志值按大小顺序排列，位于中间位置的那个标志值就是中位数。通常用Me表示。中位数将全部标志值分成两半，一半小于中位数，一半大