控制测量 第八章 高斯投影

第八章高斯投影•这一章我们将解决由地表归算至椭球面上的测量元素（如点的坐标、大地线方向和长度等）再转化计算至投影平面上的问题。而这种转化计算必须通过某种投影的方法来实现。•在测绘实践生产中，人们总是期望将椭球面上的测量元素归算到平面上，以便在平面上进行计算，同时，控制地形测图所建立的控制点，也必须具有平面坐标，因此，需要选择一种合适的投影方法，来解决测量元素由椭球面至平面的转化问题。8.1高斯投影概述1.投影与变形所谓地球投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。),(),(21BLFyBLFx椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称作投影的变形控制测量学控制测量学长度比：设椭球面上一微小线段，投影到平面上相应位置。则将投影面上的线段同原面上的相应线段之比，当→0时的极限叫投影长度比，简称长度比，用m表示：'2'1PP21PP21PP'2'1PP21PP21'2'10PPPPPPmlim21或Sdsdm控制测量学一点上的长度比，不仅随点的位置，而且随线段方向发生变化。即：不同点上的长度比都不同，且同一点上不同方向的长度比也不同。SNP1P2P2’P1’YX控制测量学主方向：投影后一点的长度比依方向不同而变化，其中最大和最小长度比的方向，称为主方向。长度比的主方向处在椭球面上2个相互垂直的方向。AOBCO’A’B’C’控制测量学设想在椭球面上，以O为中心，将直角∠AOC逐渐向右旋转到达∠AOB位置。则该角的投影将从锐角∠A’O’C’开始逐渐增大至钝角∠B’O’C’。在旋转的过程中，期间必定在某个位置上为直角。即椭球面的任意点上必有一组相互垂直的方向，它们的投影也相互垂直，这两个方向即为主方向。AOBCO’A’B’C’控制测量学地图投影必产生变形:长度变形：称m与1只差为相对长度变形，简称长度变形,v=m-1方向变形：从主方向起，OP的方向角称为α，投影后O’P’的方向角α’，则α’-α即为方向变形。最大方向变形：w=sin（α0-α0’）=（a-b）/（a+b）角度变形：最大角度变形是最大方向变形的两倍，Δu=2w=2arcsin（a-b）/（a+b）面积变形：p=（πab）/（π）=ab此处的a和b指主方向上的长度比。控制测量学地图投影的分类：按变形性质分：等角投影：投影前后角度不变形，此时某点的长度比为常数，也称正形投影。a=b等积投影：面积不变形ab=1任意投影：既不等角，又不等积a≠b,ab≠1等距离投影：保持a、b中一个恒为1，即a=1或b=1按经纬网投影形状分：方位投影：适合于两级圆锥投影：中高纬地区圆柱投影：中低纬地区按投影面和原面相对位置分：正轴投影斜轴投影横轴投影控制测量学控制测量对地图投影的要求：1.采用等角投影2.长度和面积变形不大3.能按高精度的、简单的、同样的公式将各区域连成整体。等角投影（又称正形投影）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体控制测量学控制测量学3高斯投影的基本概念高斯投影是一种横轴椭圆柱面正形投影，也称高斯-克吕格投影。主要应用在工程测量、控制测量及一些较大比例尺的地形图测绘和制图方面。高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影，是德国测量学家高斯于1825～1830年首先提出的想象有一椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（称中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定的投影方法将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。控制测量学控制测量学高斯投影平面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，以中央子午线的投影为纵坐标轴，即x轴。以赤道的投影为横坐标轴，即y轴，形成高斯平面直角坐标系。形成高斯投影的条件是：1.投影后角度不产生变形，满足正形投影的条件2.中央子午线投影后是一条直线3.中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等于1我国规定按经差6和3度进行投影分带，为大比例尺测图和工程测量采用带投影。特殊情况下工程测量控制网也可用1.5度带或任意带。控制测量学控制测量学我国的x坐标都是正的，y坐标最大值（在赤道上）约330km，为避免出现负的横坐标，可在横坐标上加上500km，此外还应在坐标前冠以带号。Eg.Y=19123456.78919为带号去带号减500km为y坐标=-376543.211为了将各带连成整体，一般规定各投影带要有一定的重叠度，其中每一6°带向东加宽30′，向西加宽15′或7.5′，从而保证边缘控制点间相互应用，也保证了地图的拼接和使用。4椭球面三角系化算到高斯平面①高斯投影坐标计算；②平面子午线收敛角r；③方向改化，距离改化；④换带计算。yxlB,,控制测量学8.2正形投影的一般条件lyqxqylx正形投影方法都必须遵循的法则：柯西(Cauchy)—黎曼(Riemann)条件控制测量学8.3高斯投影坐标正反算公式1高斯投影坐标正算公式：B,lx,y高斯投影必须满足以下三个条件：①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。6425644223422)5861(cossin720)495(cos24cossin2lttBBNltBsimBNlBBNXx5222425532233)5814185(cos120)1(cos6cosltttBNltBNlBNy控制测量学2高斯投影坐标反算公式x,yB,l满足以下三个条件：①x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；②x坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。22242552233642542222328624285cos12021cos6cos459061720935242ffffffffffffffffffffffffffffftttBNytBNyBNylyttyNMtyttNMtyNMtBB控制测量学3高斯投影坐标正反算公式的几何解释控制测量学8.4高斯投影计算的实用公式2/)12/)30/))58(61())49(5((1(22222222ppptttNtXxppptttNy)6/)20/)14)5818(5()1((1(22222222正算公式反算公式2/)12/)30/))2(4561())91(35((1(222222222000qqqtttttVBBffffffff)6/)20/))43(2)67(45()21((1(cos/2222222200qqttttBqlfffffff)3/)5/))35(2()1((1(22222200qqtttqtrfffff控制测量学8.5平面子午线收敛角1由求r的公式25542332cossin151231cossin31sintBlBBlBBlr控制测量学2由xy求r的公式2554223335215213fffffffffffttNtytNtyNytr控制测量学8.6方向改化公式1方向改化近似公式的推导)(22bammabxxyR)(22bammabxxyR控制测量学2方向改化较精密公式的推导))(2(6122122.1xxyyRm))(2(6121221.2xxyyRm控制测量学cba一个三角形的三个内角的角度改正值（同一点相应两个方向的方向改正之差）之和应等于该三角形的球面角超的负值。此式可用来检查方向改正计算。控制测量学8.7距离改化公式DsSs与D的关系:ssdsvvdsDss2)21(cos2020控制测量学长度比和长度变形dSdsm)45(cos24)1(cos2124442222tBlBlm44222421RyRym用大地坐标表示的长度比公式用平面坐标表示的长度比公式控制测量学