2017年江苏专转本高等数学核心知识点无穷级数第五节 函数的幂级数展开式

第五节函数的幂级数展开式nnnxaxf0)(求幂级数,在其收敛域内以f(x)为和函数—函数的幂级数展开。问题:2.如果能展开,是什么?na3.展开式是否唯一?1.f(x)在什么条件下才能展开成幂级数?nnnxxaxf)()(00或麦克劳林展开式泰勒展开式1函数)(xf能展开成幂级数0nnnxa的必要条件是)(xf在点0x处有任意阶导数，且系数定理,)0(0fa,,!1)0(1fa,!2)0(2fa,!)0()(nfann证设函数)(xf能展开成幂级数0nnnxa，于是存在0r使得22100)(xaxaaxaxfnnn)||(rx2这表明)(xf是幂级数0nnnxa在),(rr内的和函数，在上式中令0x，即得在0)0(af.利用幂级数的和函数在其收敛区间内可任意阶求导的性质，又可得出)(xf在),(rr内有任意阶导数，11)(nnnxnaxf)||(rx)||(rx22100)(xaxaaxaxfnnn1!1)0(af!1)0(1fa311)(nnnxnaxf)||(rx)||(rx22100)(xaxaaxaxfnnn!1)0(1fa22)1()(nnnxannxf)||(rx2!2)0(af!2)0(2fa33)2)(1()(nnnxannnxf)||(rx3!3)0(af!3)0(3fa4)||(rx22100)(xaxaaxaxfnnn归纳可得，!)0()(kfakk)2,1,0(k即得,)0(0fa,,!1)0(1fa,!2)0(2fa,!)0()(nfann5函数)(xf能展开成幂级数0nnnxa的充分条件是定理,0)(limxRnnDx其中D是幂级数0)(!)0(nnnxnf的收敛域，2!2)0(!1)0()0()()(xfxffxfxRnnnxnf!)0()(称为n阶余项.61.求出0x处的函数值及各阶导数值)0(f,)0(f,)0(f,),0(,)(nf；0)(!)0(nnnxnf函数f(x)展开成幂级数具体步骤：2.写出幂级数，并求其收敛域D.0)(!)0(nnnxnf3.考察0)(limxRnx在D上是否成立。0)(!)0()(nnnxnfxf)(Dx如果是,则f(x)在D上可展开成麦克劳林级数7基本展开式,!5!3!)12()1(sin53012xxxnxxnnn,!!21!e20nxxxnxnnnx),(x),(x,!4!21!)2()1(cos4202xxnxxnnn),(x,32)1()1ln(3211xxxnxxnnn]1,1(x8收敛域为:0:]1,1[01:]1,1(1:)1,1(2!2)1(1)1(xxxnxnn!)1()1((n不为正整数)此外还有,110nnxx)1,1(x9一般用间接法:根据展开式的唯一性,利用已知展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例1将2e)(xxf展开成x的幂级数.,!e0nnxnx),(x所以02!)(e2nnxnx,!)1(02nnnxn),(x10将2eech)(xxxxf展开成x的幂级数.例2解,!)1(!)(e00nnnnnxxnnx!)2(!4!21!)2(ch24202nxxxnxxnnn,!e0nnxnx),(x),(x所以),(x11,!5!3!)12()1(sin53012xxxnxxnnn),(x,!4!21!)2()1(cos4202xxnxxnnn),(x例3两边求导,得12将)1ln()(xxf展开成x的幂级数.因为xxf11)(两边从0到x积分,得011)1()1ln(nnnnxx11)1(nnnnx,上式对1x也成立,故收敛域为]1,1(x,例4解，0)(nnx1||x13将xxfarctan)(展开成x的幂级数.因为211)(xxf02)(nnx,两边从0到x积分,得上述幂级数在1x处也收敛,且xarctan在1x处有定义且连续,所以上述展开式成立的范围为例5解5312)1(arctan53012xxxnxxnnn]1,1[x1||x14将xxf2cos)(展开成x的幂级数.例6解法1)2cos1(21cos2xx,!4!21!)2()1(cos4202xxnxxnnn),(x02!)2()2()1(2121nnnnx,!)2(2)1(11212nnnnxn),(x15012!)12()2()1(nnnnx,两边从0到x积分,得0222!)22()2()1(211cosnnnnxxxx2sin)(cos2所以将xxf2cos)(展开成x的幂级数.例6解法2),(x12!)2()2()1(21nnnnx,!)2(2)1(1212nnnnxn,!)2(2)1(1cos12122nnnnxnx),(x16将341)(2xxxf展开成x的幂级数.)3)(1(1xx311121xx3/1161)1(21xx003)1(61)1(21nnnnnnxx036121)1(nnnnx,例7解341)(2xxxf1||x17将)34ln()(2xxxf展开成x的幂级数.例8解)34ln()(2xxxf)1)(4ln(xx)1ln()4ln(xx)1ln()41ln(4lnxx,32)1()1ln(3211xxxnxxnnn]1,1(x11)1(414lnnnnnnxnxn,4)4(14ln1nnnnxn]1,1(x18.1lnarctan)(2克劳林级数展开成麦将xxxxf例9解221arctan1)(xxxxxxf)11(xxxxx02d11arctan又xnnnxx002d)1(，xarctan,12)1(012nnnnx022)22)(12()1(nnnnnxxnnnxnxxf0012d12)1()(故)11(x,)12(2)1(121nnnnnx19以上讨论的均为麦克劳林级数，下面讨论一下一般的泰勒级数：000)()(!)(nnnxxnxf其收敛域为D，并要求余项0)(limxRnx在D上成立，nnxxnxfxf)(!)()(00)()(Dx则)(xf在0xx处的泰勒展开式为一般利用麦克劳林级数间接展开。20将xxf41)(展开成)1(x的幂级数.收敛域:51x,即)6,4(x.例10解x41511151x151x0)51(51nnx,)1(5)1(01nnnnx21将xxfsin)(展开成)4(x的幂级数.])4cos()4sin([21xx02012!)2()4()1(21!)12()4()1(21nnnnnnnxnx0122!)12()4(!)2()4()1(21nnnnnxnx,例11解)44sin(sinxx),(x22例12解11x，2111231)(2xxxxxf，03431nnx；134x将函数231)(2xxxf展开为(4x)的幂级数.而341131x，02421241121)4(2121nnxxxx)4(31x23，011)4](3121[)(nnnnxxf)2,6(x，0343111nnxx；134x，0242121nnxx；124x例12解将函数231)(2xxxf展开为(4x)的幂级数.24例13解将函数)34ln(2xx展开为(3x)的幂级数.tx3令,3tx)34ln(2xx,)34ln(2tt,4)4(14ln)34ln(12nnnnxnxx]1,1(x由例8知，所以)34ln(2xx,)3(4)4(14ln1nnnnxn]2,4(x25