哈密顿算子

第三章哈密顿算子()Nablaijkxyz算子是一种微分运算符号，哈密顿算子（算子也称矢量微分算子）是矢量，同时又可看成它在运算中具有矢量和微分的双重性质.()uuuuijkuijkxyzxyz()()xyzAijkAiAjAkxyz运算规则yxzAAAxyzxyzijkAxyzAAA()()()yyxxzzAAAAAAijkyzzxxygraduu由此知，divAArotAAuA数量场的梯度与矢量场的散度和旋度可用算子表示：()()xyzAAiAjAkijkxyz()xyzuuuAuAAAxyz()uM数性微分算子作用于数性函数上数性微分算子xyzAAAxyz()xyzBBBABAAAxyz()BM数性微分算子作用于矢性函数上AA注意：与不同1.()CuCu2.()CACA3.()CACA4.()uvuv5.()ABAB6.()ABAB7.()uCuC8.()uCuC以上公式中，Ｃ为常数，C为常矢。,uv,AB常见公式（是数性函数，是矢性函数）9.()uvuvvu10.()uAuAuA11.()uAuAuA12.()()()()()ABABABBABA13.()()()ABBAAB14.()()()()()ABBAABBAAB215.()uuu16.()0u17.()0A18.()()()xyzAAAAAiAjAku为调和量,rxiyjzkrr019.rrrr20.3r21.0r22.()()fufuu0()24.()()frfrrfrrr25.[()]0frr326.[]0(0)rrr下面公式中23.(,)fffuvuvuv()SAdSAdv()lSAdlAdSGauss26.公式Stokes27.公式()3urururr3sin3cos3cosuyzixzyzjxyyzk()9sin3sin3cos3cosurxyzxyzxyzyzxyzyz()ur求解由公式10知3sin,uxyzrxiyjzk例1已知3(sincoscos)yzixzyzjxyyzk12sin6cosxyzxyzyzArotA32224303422028zxzDAxyzxzxyzyz222(22)(30)(40)ArotAzxyixzjxyzk(24)38638MAijkijk(1,2,1)MA求在点处的解：32422Axzixyzjyzk例2已知222(22)34zxyixzjxyzk(),()()lSlSAdlAdSardlardS()2lSardladSrxiyjzka其中为常矢量Stokes证明：由公式()()()()()arraarraar所以证毕()2lSardladS例3验证0()03xyzaaaraxyz()332xyzaiajakaaaa()()SuvdSvuvudV()()SuvvudSuvvudV()SAdSAdV()()()SuvdSuvdVvuuvdVGreen例4验证第一公式与第二公式Gauss证明：由公式Auv取，用公式10()()SvudSvuvudV()()SuvvudSuvvudV同理两式相减证毕.