2017年江苏专转本高等数学核心知识点无穷级数第四节 幂级数

第四节幂级数一、幂级数及其收敛特性定义：形如nnnxxa)(00的级数称为幂级数.其中na为幂级数系数.特别,取00x,则得0nnnxa,如果对0xx,数项级数10nnnxa收敛,则称幂级数00nnnxa在0xx处收敛，并称点0xx为幂级数00nnnxa的收敛点,1定义幂级数10nnnxa的全体收敛点组成的集合D称为该幂级数的收敛域。显然，D0。在收敛域上,幂级数的和是x的函数S(x),称S(x)为函数项级数的和函数，记为)(00xSxannn)(Dx,120xxxnn例如级数收敛域为,1||x和函数为.110xxnn2(1)如果级数0nnnxa在)0(11xxx处收敛,则它在满足不等式||||1xx的一切x处绝对收敛;(2)如果级数0nnnxa在2xx处发散,则它在满足不等式||||2xx的一切x处发散.证明,0lim1nnnxa,)1(01收敛nnnxaO1x定理(阿贝尔定理)3),2,1,0(1nMxann使得,Mnnnnnnxxxaxa11nnnxxxa11nxxM1,1xx,01收敛等比级数nnxxM,0收敛nnnxa;)(0收敛绝对因此级数nnnxa由正项级数的比较判别法知,证明,0lim1nnnxa,)1(01收敛nnnxa4,)2(2时级数发散设当xx假如有一点0x适合||||20xx使级数收敛,则级数当2xx时应收敛,由(1)结论,xoRR几何说明收敛区域发散区域发散区域这与所设矛盾.5幂级数0nnnxa的收敛情况必为以下三种情形之一：（1）仅在0x处收敛；（2）在整个数轴上收敛；（3）0R,在Rx||处绝对收敛,在Rx||处发散,在Rx||处可能收敛也可能发散.此时正数R称为幂级数的收敛半径.0R规定,R收敛域),(.(1)幂级数只在0x处收敛:(2)幂级数对一切x都收敛:问题如何求幂级数的收敛半径?6如果幂级数0nnnxa的所有系数0na,则幂级数0nnnxa的收敛半径为设kaannn1lim(或kannnlim)简单地讲,就是1limnnnaaR.定理kkkkR,00,0,1/7证明应用达朗贝尔判别法，对级数0nnnxannnnnxaxa11limxaannn1lim,||xk(1)如果0k当kx1时,0nnnxa发散；当kx1时,0nnnxa绝对收敛；故0k时,kR1；8,0)2(k如果nnnnnxaxa11lim.)(0收敛绝对级数nnnxa;R收敛半径,)3(k如果.0R收敛半径证毕.则对0x,则对0x,级数0nnnxa发散，kaannn1lim||lim1xaannn,10||limlim111xaaxaxannnnnnnn,9求下列幂级数的收敛半径和收敛域.1x时,级数为01nn,1x时,级数为0)1(nnn,收敛域为1,1.例10nnnx解1limnnnaaR，11limnnn发散；收敛。10一般，,0npnnx1limnnnaaR，1)1(limppnnn求下列幂级数的收敛半径和收敛域.例1若1p,收敛域为]1,1[；若10p,收敛域为)1,1[；若0p,收敛域为)1,1(.11R,即收敛域为),(.0!)1(!limnnRn,仅在0x处收敛.例2解0!nnnx!1!)1(1limnnn，011limnn例3nnxn!0解121limnnnaaR122lim1nnnnn，21,2121收敛即x,)1,0(收敛x.)21(2)1(1nnnnxn,0时当x,11nn级数为,1时当x,)1(1nnn级数为发散收敛故收敛域为(0,1].例4解nnn21lim13求幂级数1122nnnx的收敛域.3523222xxx级数为缺少偶次幂的项)()(lim1xuxunnnnnnnnxx22lim12112,212x级数收敛；,1212x当,2||时即x例5解直接应用达朗贝尔判别法，14,2时当x,211n级数为级数发散,所以原级数的收敛域为).2,2(一般,若0nnnxa的收敛半径为R,则02nnnxa及012nnnxa的收敛半径为R.1122nnnx级数收敛；,1212x当,2||时即x级数发散；,1212x当,2||时即x15二、幂级数的和函数设幂级数0nnnxa的收敛半径为R,收敛域为D,且和函数为)(xS.下面介绍)(xS的三个性质.性质1)(xS在0nnnxa的收敛域D内连续.性质2)(xS在0nnnxa的收敛域D内可积,且有逐项积分公式：xxxS0d)(00dnxnnxxa，101nnnxna且收敛半径仍为R.xnnnxxa00d)(16性质3)(xS在),(RR内可导,且有逐项求导公式：0)()(nnnxaxS0)(nnnxa，11nnnxna注:(1)实际上,)(xS在),(RR内任意阶可导.且收敛半径仍为R.(2)逐项积分或求导后,端点处的收敛性可能发生如下变化：逐项积分后，原来发散的端点可能变收敛；逐项求导后，原来收敛的端点可能变发散。17xxnn110,1||x例6逐项求导,,)1(1211xnxnn1||x再逐项求导,,)1(2)1(322xxnnnn1||x180111nnxn11nnxn)1,1[xxxx0d11,)1ln(xxxnn110,1||x例6逐项积分,注意:在1x处,0nnx发散,但11nnxn收敛,1)1(nnn1)1ln(xxnn)1(4131211.2ln19xxnn110,1||x例6换元，0)(nnx,11x1||x02)1(nnnx,112x1||x逐项积分，01212)1(nnnxn,arctanx1||x20求幂级数03)1(nnnnx的和函数.例7解03)1(nnnnx0)3(nnx)3(11x,33xxxnn110,1||x1|3|x3||x21求幂级数321120xxnxnn的和函数.01nnnx的收敛半径为1R,和函数记为)(xS,两边从0到x积分,xxxxxS0d11)()1ln(x,例8解)1,1[x逐项求导,,1)(01nnnxxxS)(xxS0nnx,11x1||x22321120xxnxnn当0x时,)1ln(1)(xxxS；当0x时,显然有1)(xS,所以0,11001,)1ln(1)(xxxxxxS或.易验证,)(xS在0x处连续.xxxxxS0d11)()1ln(x,)1,1[x23求幂级数02nnxn的和函数.022nxn的收敛半径为1R,和函数记为)(xS,例9解,)1(1211xnxnn,)1(2)1(322xxnnnn1||x,111xxnn12)(nnxnxS1]1)1[(nnxnn1111)1(nnnnnxxxnnx23)1()1(2xxxx24求幂级数02nnxn的和函数.022nxn的收敛半径为1R,和函数记为)(xS,例9解1||x12)(nnxnxS1]1)1[(nnxnn1111)1(nnnnnxxxnnx23)1()1(2xxxx,)1()1(3xxx25求级数132nnn的和.例10解先求幂级数1nnnx的和函数.1)(nnnxxS11nnnxx,)1(2xx1nnxxxxx11||x所以)32()32(1Snnn.626求级数13)12()1(nnnn的和.例11解13)12()1(nnnn先求幂级数11212)1(nnnxn的和函数)(xS.122)1()(nnnxxS,112x1||x,arctan)(xxS1||x积分得所以1123)12()1(31nnnn)31(31S.3627