2017年江苏省专转本高数第九章第五节函数展开成幂级数

无穷级数第五节函数展开成幂级数第五节函数展开成幂级数前面研究的是幂级数的收敛域及和函数,现在反过来,某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示一.泰勒级数)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn其中f(x)在的某邻域内具有n+1阶导数.0x余项此时,f(x)可以用前n+1项近似表示,误差为|)(|xRn由此引入泰勒级数:1.定义若f(x)在的某邻域内具有各阶导数,则0xnnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(!2)())(()(00)(20000000xf(x)在的泰勒级数0x000)()(!)(~)(nnnxxnxfxf0)(!)0(~)(nnnxnfxf泰勒系数麦克劳林级数2.泰勒定理:若f(x)在的某邻域内具有各阶导数,0x0)(limxRnn(由泰勒公式很容易得出结论,证明略)注:(1)则f(x)在的泰勒级数在该邻域内收敛于f(x)0x若f(x)在的泰勒级数收敛于f(x),即0x000)()(!)()(nnnxxnxfxf泰勒展开式(2)如果函数可以展开成幂级数,则展开式唯一.则称f(x)在可以展开成泰勒级数0x二.函数展开成幂级数主要研究函数如何展开成x的幂级数.麦克劳林级数00x1.直接展开法(1)求出),(,),(),()(xfxfxfn如果某阶导数不存在,说明不能展开(2)求出),0(,),0(),0(),0()(nffff(3)nnxnfxfxff!)0(!2)0()0()0()(2求出收敛半径R(4)在(-R,R)内,如果0)(limxRnn则f(x)例将函数展开成x的幂级数xexf)().1(,...)2,1(,)()(nexfxn,...)2,1(,1)0()0()(nffn!!212nxxxn收敛半径R1)!1(|)(|nnxnexR)0(,)!1(||1||xnxenx有限趋于零,因为收敛01)!1(||nnnx所以0)(limxRnn)(,!!212xnxxxenxxxfsin)().2(,...)2,1(),2sin()(nnxxfn,...)2,1,0,...(1,0,1,0)0()(nfn(循环))!12()1(!5!312153nxxxxnn收敛半径R1)!1()21sin(|)(|nnxnnxR)0(,)!1(||1xnxn所以0)(limxRnn0)(,)!12()1(0121xnxnnn)11(,!)1()2)(1(!3)2)(1(!2)1(1)1).(3(32xxnnxxxxn牛顿二项式级数注:α－1时,展式在x=1成立;α0时,展式在x=－1成立.2.间接展开法利用已知的基本展开式和幂级数的性质(1).逐项积分,逐项求导法(2)变量替换法(3)四则运算法例将函数展开成x的幂级数xxfcos)().1()(sincosxx))!12()1(!5!3(12153nxxxxnn)(,!2)1(!4!21242xnxxxnn)1ln()().2(xxf)11(,)1(110xxxnnnxdxxx011)1ln(])1([00nxnndxx)11(x11)1(nnnnx2)().3(xexf!!212ntttent2xe)(,!)1(!3!212642xnxxxxnn作变量替换2xt21)().4(xxxf22111xxxx02)1(nnnxx)11(,)1(012xxnnn例将分别展开成x的及x－1的幂级数x31①②3113131xx)33(,301xxnnnnnx)3(310211121)1(2131xxxnnx)21(210)31(,2)1(01xxnnn例将展开成x－1的幂级数3412xx)3)(1(13412xxxx)3(21)1(21xx)411(81)211(41xxnnnnnnxx)41()1(81)21()1(4100,)1)(2121()1(0322nnnnnx)31(x)53(x)31(x三.幂级数在近似计算中的应用有了函数的幂级数展开式,就可以用它来进行近似计算，即在展开式成立的区间上，可以按照精度要求，选取级数的前若干项的部分和，把函数值近似计算出来。例：求e的近似值解由()xfxe的展开式)(,!!212xnxxxenx取有21111,()2!!nexn1x根据不同的精度要求，取不同的n值9nnn-6当时,e2.718281当=10时,e2.7182812可见,即当=10时,e的计算误差不超过10例计算ln2近似值，要求误差不超过0.0001解231234()ln(1)11(1)....,(11)2311111(1)1.....(1).....234111(1)....,(234nfxxlnxxxxxxlnxnnlnxxxxx由的展开式取有如果取级数的前项和作为ln2的近似值,就需要取级数的前面很多项来计算,才能够达到要求,但计算量太大,我们试着用收敛较快的级数来计算ln2因为23411)111(1)....,(11)234xlnxxxxxx353572911119111lnln(1)ln(1)2(...)135112,131111111ln22(......),333537311112112(......)[1()....]93113399114.3700001ln22(3xxxxxxxxxx4所以令得有级数的第五项以后的和,即取前4项作为ln2的近似值所产生的误差r于是取357111111...)0.6931335373练习].21,21(,21,2121||12)1()1ln()21ln()1)(21ln()21ln(1112级数的收敛域为散时，对应常数项级数发当对应常数项级数收敛；时当xxxxnxnxxxxxxnnnnnn的幂级数并求收敛域展开成将xxx)21ln(.12).7,3(,7,373135125)5(3121)1(3511312511213)5(12)5(12131)3)(2(16510112级数的收敛域为散时，对应常数项级数发当对应常数项级数发散；时当xxxxxxxxxxxxxxxxnnnnn的幂级数展开为5651.22xxx.1|)1123121()13121()1ln(,131211)1ln(1012102102321nxnxxdxxnxdxxxxxnxxxxnxnnnnn102)1ln(.3dxxxx.1)1(')!1(1)1()('0,1)(1)!1()(,)!1()(',)!1(1)()1(1211110fnnxexxfxxexfenxxxfxnnxfxnxfnxxnxnnnnn此时则记.)2(.1)!1()1(:.411收敛证明nnnenn.24241)(!31)(!211)2(2233法知原级数收敛由正项级数的比较判别nenennnennn