第6章 功和能的关系

第6章功和能的关系6.1功和功率一、功二、功率1．什么是做功例1两人用力推一辆发动机出现故障的小汽车（右图）。车在人的推力作用下发生一段位移，推力对车做了功。一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生一段位移，这个力就对物体做了功。例2在平路上，小王提着一桶水走了2m。小李使举起的杠铃在头顶保持静止3s，如左图所示。他们有没有做功？可见，力和物体在力的方向发生的位移，是做功的两个必要的因素。一、功2．功的计算1）力的方向与物体运动的方向一致时，功就等于力的大小和位移大小的乘积。即W=FS功是标量。在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J。2）力的方向与运动方向不一致时（下图），力对物体做的功，等于力的大小、位移的大小、力和位移的夹角的余弦这三者的乘积。W=FScos3．正功和负功1）当090时，cos0，W0，力对物体做正功。2）当=90时，cos=0，W=0，力F不做功。3）当90180时，W0，力对物体做负功。某力对物体做负功，往往说成“物体克服某力做功”（取绝对值）。这两种说法的意义是等同的。例题1如右上图所示一个质量为m=20kg的木箱，在与水平方向成=37的拉力F=100N的作用下，沿着水平地面移动S=10m。已知木箱与地面间的滑动摩擦力大小为30N，取重力加速度g=10m/s2，求（1）拉力对木箱做的功；（2）木箱克服摩擦力做的功。分析求摩擦力做的功时应注意，摩擦力方向与位移方向夹角为180°，摩擦力做负功（右中图）。解：（1）拉力F做的功Wf=Fscos=100×10×cos37=8×102J（2）摩擦力f做的功Wf=fscos180◦=30×10×(-1)=-3×102J所以，木箱克服摩擦力做功W克=3×102J。二、功率1．功率不同物体做相同的功，利用的时间往往不同，也就是说，做功的快慢程度不相同。物理学中用功率来表示物体做功的快慢。功W与完成这些功所用时间t的比值叫做功率。功率用P来表示，则有：WPt在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W，技术上常用千瓦（kW）做功率的单位，1kW=1000W。2．功率与速度如下图所示，汽车在牵引力F作用下做匀速运动。将功的计算公式W=Fs、功率的计算公式P=W/t及v=s/t相结合，可得：P=Fv这就是说，一个力对物体做功的功率，等于这个力与受力物体运动速度的乘积说明（1）当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反比。要增大牵引力，就要减小速度；要增大速度，就要减小牵引力。（2）通过减小速度增大牵引力或通过减小牵引力而提高速度，效果都是有限的。要从根本上提高速度和增大牵引力，必须提高发动机的功率。3．额定功率与实际功率额定功率是在正常条件下可以长时间工作的功率。实际输出功率往往小于这个数值。例如，某汽车内燃机的额定功率是97kW，但在平直公路上中速行驶时，发动机实际输出的功率只有20kW左右。在特殊情况下，例如越过障碍时，司机通过加大油门可以使实际输出功率大于额定功率，但这对发动机有害，只能工作很短时间，而且要尽量避免。例题一艘轮船发动机的额定输出功率是1.7×105kW，以最大速度航行时所受的阻力是1.2×107N，求轮船的最大行驶速度分析轮船运动时在水平方向受到牵引力F和阻力f，其中阻力f随着速度的增加而增大。设发动机的输出功率恒为P，由功率、速度关系式F=P/v可知：开始阶段，轮船行驶速度较小，牵引力较大，同时阻力较小，因此合力较大，加速度较大；随着速度的增加，牵引力逐渐减小，阻力逐渐增大，合力逐渐减小，加速度逐渐减小。当牵引力减小到与阻力相等时，加速度变为零，速度达最大。此后，轮船即以最大速度匀速行驶解经分析可知，当轮船以额定功率匀速行驶时，速度为最大。由F－f=0，P=Fv得：V=P/f将P=1.7×105kw，f=1.2×107N代入得：v≈14m/s≈50km/h所以，轮船的最大行驶速度约为50km/h。6.2动能与功一、动能二、动能定理三、动能变化与做功的关系四、动能定理的应用一、动能设一个物体的质量为m，初速度为v1，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生一段位移s，速度增加到v2。在这一过程中，力F做的功W=Fs，根据牛顿第二定律有F=ma，而匀加速运动中，由此可得avvs2212222211122Wmvmv物理学中，把叫做物体的动能，用符号Ek表示，即物体的动能等于它的质量与它的速度二次方乘积的一半。221mv动能是标量。在国际单位制中，动能的单位是J。1J=1kg·m2/s2=1N·m例题我国在1970年发射的第一颗人造地球卫星，质量为173kg，运动速度为7.2km/s，它的动能是多大？解卫星动能Ek==×173×（7.2×103）2J=4.48×109J221mv21二、动能定理在得到动能的表达式后，可以写成21222121mvmvWk2k1WEE其中，Ek2表示物体的末动能，Ek1表示物体的初动能2221mv2121mv力对物体做的功等于物体动能的变化。这叫做动能定理。如果物体受到几个力的共同作用，则公式中的W表示这几个力合力所做的功（几个力做功的代数和）。三、动能变化与做功的关系力对物体做多少功，物体动能就改变多少。可见，通过力对物体做功的多少，可以量度出动能变化的多少。除了动能，在其他任何形式的能量变化过程中，这个结论也是正确的，即功是能量变化的量度。因此，我们可以根据能量变化的多少来计算功，也可以根据做功的多少来计算能量变化的多。三、动能变化与做功的关系通过对动能定理的研究，我们初步认识到：力对物体做多少功，物体动能就改变多少。可见，通过力对物体做功的多少，可以量度出动能变化的多少。人们通过对功和能关系的长期研究发现：除了动能，在其他任何形式的能量变化过程中，这个结论也是正确的，即功是能量变化的量度。因此，我们可以根据能量变化的多少来计算功，也可以根据做功的多少来计算能量变化的多少。四、动能定理的应用运用动能定理求解力学问题往往比较简单，这是因为它不涉及物体运动过程中的加速度和时。应用动能定理时，必须分析清楚物体所经历的过程及受力情况。例题1一架喷气式飞机，质量m=5.0×103kg,起飞过程中从静止开始滑跑至速度v=60m/s起飞。已知飞机受到的牵引力为F=1.8×104N，飞机受到的平均阻力是飞机重力的k=0.02倍，求飞机滑跑的路程S。分析飞机在水平方向受到的外力是牵引力F和阻力f，竖直方向受力是平衡的解由动能定理得其中，代入上式解得代入已知数据得021)(2mvsfF)(22kmgFmvs25.310ms例题2一辆质量为m=1.5t，速度为vo=36km/h的汽车关闭发动机后在水平地面上滑行了l=40m后停了下来。试求汽车受到的阻力。分析我们讨论的是汽车从关闭发动机到静止的运动过程。这个过程的初动能、末动能都可求出，因而应用动能定理可以知道阻力做的功，进而求出汽车受到的阻力。解汽车的初动能为，末动能为0，阻力F阻做的功为-F阻l。应用动能定理，有-F阻l221omv2102mv由此得出代入已知数据可解得F阻=1.9N。6.3重力势能与重力的功一、重力的功二、重力势能三、重力势能变化与重力做功的关系一、重力的功人无论是爬楼梯还是爬竖直梯，重力做功都等于mg·(h1-h2)。你可以计算一下。物体运动时，重力对物体做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。重力的功可用公式表示为WG=mgh1-mgh2。二、重力势能1．什么是重力势能物理学中，把mgh叫做物体的重力势能。用Ep表示重力势能，则Ep=mgh上式表明，物体的重力势能等于它所受重mg和所在高度h的乘积。重力势能是标量。在国际单位制中，它的单位是J。2．重力势能的相对性我们说物体具有重力势能mgh，这总是相对于某个水平面来说的，这个水平面叫做参考平面。通常选择地面作为参考平面以B为参考，A具有的重力势能为正；C具有的重力势能为负。三、重力势能变化与重力做功的关系重力做的功等于重力势能的减少。当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功（右图）。当物体由低处运动到高处时，重力做负功（物体克服重力做功），重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功（左图）。例题1如下图所示，质量m=0.5kg的小球，从距桌面高h1=1.2m的A点下落到地面上的B点，已知桌面高h2=0.8m，分别以桌面、地面为参考平面，试求小球在A、B点具有的重力势能（取g=10m/s2）分析计算重力势能关键是零势能参考平面的确定，当物体的位置在零势能面以上时，重力势能为正；当物体在零势能面以下时，重力势能为负。解当选桌面为参考平面时小球在A点的重力势能EpA=mgh1=6J小球在B点的重力势能EpB=mgh2=－45J当选地面为参考平面时小球在A点的重力势能EpA=mg(h1+h2)=10J小球在B点的重力势能EpB=mgh2=4J体验与探索取一个轻质柔性盛水袋灌水，然后从袋壁一侧轻轻用力推动使它变形。请同学们思考，这时袋中水的重力势能是增大了，变小了，还是不变？6.4动能和势能的相互转化一、机械能二、机械能守恒定律三、机械能守恒定律的应用一、机械能1．机械能物理学中，把物体由于做机械运动而具有的能量称为机械能。它是物体的动能与势能之和，若用符号E表示机械能，则有E=Ek+EP2．动能与势能的相互转化机械运动过程中，动能与势能可以相互转化，如下图所示。运动员势能转化成动能水的势能转化成动能运动员动能转化成势能二、机械能守恒定律如下图所示，设一个质量为m的物体自由下落，经过高度为h1的A点（初位置）时速度为v1，下落到高度为h2的B点（末位置）时速度为v2。则：1212222121mghmvmghmv或者k2p2k1p1EEEE左式表示，在自由落体运动中，动能和重力势能之和即总的机械能保持不变。可以证明，在只有重力做功的情况下，不论物体做直线运动还是曲线运动，上述结论都是正确的。物体的动能和势能可以相互转化，在只有重力做功的情形下，机械能总量保持不变。这个结论叫做机械能守恒定律。三、机械能守恒定律的应用解决某些力学问题，从能量的观点来分析，应用机械能守恒定律求解，往往比较方便。应用机械能守恒定律时，必须分析物体或系统的受力情况，判断是否满足机械能守恒。例题1一个物体从高h的光滑曲面顶端由静止开始滑下，不计空气阻力，求物体滑到曲面底端时的速度的大小。分析物体沿曲面向下作变加速运动，直接由牛顿第二定律和运动学公式求解非常困难。物体运动过程中受重力和支持力作用，而支持力始终与运动方向垂直，不做功，又不计摩擦和空气阻力，因此，满足机械能守恒的条件。例题2用细绳悬挂一个质量为m的小球，绳的另一端固定在O点，绳长为l，如下图所示。将细绳连同小球一起拉至与竖直方向成θ角的位置，然后放手，求小球到达最低点时的速度的大小。解根据机械能守恒定律有代入数据得解得vB=2(1cos)gl分析本题与例1一样，也不能用牛顿第二定律和运动学公式求解，应考虑应用机械能守恒定律：小球运动过程中受重力和绳的拉力，但后者不做功，因此，满足机械能守恒应用机械能守恒定律解题，具有两个优势。一是由于不必考虑两个状态之间的过程的细节，给研究问题带来方便；二是对于应用牛顿第二定律难以解决的问题，如曲线运动或变力等情形，应用机械能守恒定律则迎刃而解。体验与探索请同学们准备铅笔3支，橡皮筋，小球，圆木杆各一个，做一个很有趣的“小球自动上坡”实验。首先，用橡皮筋将两支铅笔的一端扎紧，另一端拉开适当的距离后搁在第三支铅笔上，构成一个木支架，宽端略高于窄端。然后，分别将圆木杆、小球分别搁置在木支架的宽端和窄端，观察所发生的现象。这样的实验结果是否出乎你的意料？，你能够解释实验现象产生的原因吗？