第6章 应力状态分析 强度理论

材料力学•应力状态分析强度理论第7章应力分析和强度理论17.1应力状态概念7.4广义虎克定律7.5强度理论7.2二向应力分析——解析法7.3二向应力分析——图解法材料力学•应力状态分析强度理论2应力不但与点的位置有关，且与过该点的截面方向有关A一点无数截面，同一点各不同方向截面上的应力情况，称为该点的应力状态（StressState）点的应力状态是取单元体分析A1.点的应力状态低碳钢和铸铁试件受扭后，——分别沿横截面和450斜截面破坏s§1应力状态概念材料力学•应力状态分析强度理论3Pqxzy代表构件内一点的几何模型，围绕分析点截取的无限小体若单元体三对微面应力已知，则过该点任一方向截面应力皆可由截面法求得——sysxtxysz任一微面，应力不变；2.单元体sxsyyxtzs两平行微面，应力相等，相反.性质:（三方向尺寸微分长度表示），常取正六面体从而确定该点应力状态同一点若截取方向不同，单元体各微面的应力就不同材料力学•应力状态分析强度理论4m2m1xzyFCBtzx[例1]画出下列图中的A、B、C点的单元体.AsxsxsxsxtxzFBCAtBCtyxtxy材料力学•应力状态分析强度理论53.主平面、主应力主平面(PrincipalPlane)受力构件内过任一点皆有三个主平面（相互垂直）主单元体(PrincipalBody)主应力(PrincipalStress）s2s3s1xzy主平面上的正应力切应力为零的微面三主平面围成的单元体——按代数值大小顺序21sssxsysz和三个主应力（包括零值）3s可证明:材料力学•应力状态分析强度理论单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。二向应力状态（PlaneStateofStress）：两个主应力不为零的应力状态。三向应力状态（Three—DimensionalStateofStress）：三个主应力都不为零的应力状态。2s3s1s（如：横弯曲构件中大多数点）（如：轴向拉压、纯弯曲构件中的点）1s2s1s6材料力学•应力状态分析强度理论§2平面应力分析xyzntsytxyxsyxt1.任意斜截面上的应力ysytyxtxysxxnsxtxysyasattnatstxyyxtxsys7材料力学•应力状态分析强度理论0cossinsincossincos22ttsssyxxyyx)n(0stsin)sin(cos)sin(dAdAyyxtsst2cos2sin2xyyxtsssss2sin2cos22xyyxyx同理化简dAcosadAsinadA)cos(sdAxdAsxyyxtt)2cos1(21cos2)2cos1(21sin22sincossin2ysntattxyxsyxts0)cos(tdAxycossin8材料力学•应力状态分析强度理论s,sx,sy符号规则：sxtxyxsyyxytt、xsattxyyxtnsys拉为正；绕分析对象顺时针正;逆时针为正x从xn9材料力学•应力状态分析强度理论40040030020kN20m030求梁中m点300斜截面应力解：1)取单元体，求出其各微面应力ZxIMysbISFZz*SxtMPa2.21.1030（实际方向）2016080m(截面图)0ysxsxyt（初始表示）8012160803]/)([)(12160803/)([例])(MPa.22MPa.116103)(20310106080()501010材料力学•应力状态分析强度理论MPa2.2030tsssss2222030sincosxyyxyx2022).(MPa62.tsst222030cossinxyyx)(sin.o3022022MPa400.2)求斜截面应力)(030xy3)标于图上2.60.41.1)(cos).(o3022022)(sin).(o30211)(cos).(o3021111材料力学•应力状态分析强度理论xsys总是偏于（σx，σy）中代数值较大者若：xyss2.主应力（）02tg,cos,sin0022maxsmins主平面主应力sytyxtxyxsxytsst2cos2sin2xyyx0令minmaxss上式可求出两（相差）0090——确定二主平面（互相垂直）理论分析可知，两主应力（σmax，σmin）中代数值较大者2yxss222xyyxtss）（yxxysst2主单元体：s代回minmaxsn012材料力学•应力状态分析强度理论tsst222cossinxyyxtsssss2sin2cos22xyyxyx0dd:0s令0yx2sin2(2ss)2cos0xyt00t主应力是过一点所有各截面的正应力中的极大、极小值——主平面13材料力学•应力状态分析强度理论12tg3.极值切应力12201tgtg222xyyxminmaxtsst）（01tdd:令2minmaxminmaxsst极值切应力面（）与主平面（）夹角45度minmaxtminmaxstsst2cos2sin2xyyx00145相差与xyyxtss214材料力学•应力状态分析强度理论(MPa)202030[例1]已知一点应力状态,试求（1）主应力、主平面；（2）绘出主应力单元体（3）切应力极值及其作用面（1）主应力2302031ss（2）主平面yxxytgsst2203020202)(000770319..37270319.2222xyyxyxtsssss)(minmax8.0MPa2737222023020)()(15材料力学•应力状态分析强度理论其作用面——与主平面交角45度(3)切应力极值及其作用面2minmaxminmaxsst37270319.2）如何判断切应力极值作用面上的方向？t思考:1)此处+－号的含义？450······22737)(MPa3216材料力学•应力状态分析强度理论§3平面应力图解2yx2sss两式两边平方相加1.应力圆（StressCircle）此方程曲线为圆——应力圆222Ry)ax(=R2(σα－a)2+τα2xyats2t2xy2yx2tss（Mohr圆）(德)OttoMohr提出systxyxsyxt+-=atassta2cos2sin2xyyx(消去参数2)：tss2sin2cos2xyyx2yxsss=+_t17材料力学•应力状态分析强度理论建立应力坐标系（选比例尺）2.应力圆画法D1(sx，txy)和D2(sy，tyx)与sa轴交点C即是圆心以C为圆心，CD1为半径画圆OstD1(sx,txy)D2(sy,tyx)Ctxyxssyyxtnaxst(x面)(y面)量取两点两点连线————应力圆；18材料力学•应力状态分析强度理论sxsy2yxss2yxss简证：以上绘出圆即为应力圆222222xyyxyxtsstsss（圆心）（半径平方）圆心：半径：OC21)CD(——即符合应力圆方程：（全等）GFstCD2(sy,tyx)),(Dxyx1tstxy2xyt2yxss(中点)O2)2(yxss19材料力学•应力状态分析强度理论单元体应力圆一点的坐标值(s，t)截面的应力值两点半径夹角2（同一转向）两截面夹角3.图解斜截面应力),(ts单元体与应力圆的对应关系Osataxn(sa,ta)C点面对应转向相同转角两倍txyxssyyxtanxst(sy,tyx)D2(sx,txy)D1E2a20材料力学•应力状态分析强度理论图解（主应力、最大切应力）D1(sx,txy)20minmaxtminmaxs是应力圆上竖标最大点——上下两极minmaxt应是应力圆上横标最大点——左右两极minmaxs(sy,tyx)stOCD2mintmaxsmins(x微面)maxt21材料力学•应力状态分析强度理论[例1]求图示单元体1.斜截面应力;2.主应力及主平面位置。坐标系内定出二点;),(5002D两点连线定圆心C1D2DAE02),(501001D单元体斜截面与x轴夹角300应力圆从D1同向转600主应力及主平面A(20,0),,201s,32030s量出：,45200060220主单元体0522.10050030(单位：MPa)得E（－32，68）C斜截面应力ts(MPa)O50MPaB(x微面)005.22半径CD1，绘应力圆MPa1203sB(-120,0)MPa68030t解：22材料力学•应力状态分析强度理论tA[例2]受扭构件，分析破坏规律求主应力、主平面0yxssPxyWTtt低碳钢试件沿横截面断开铸铁试件沿与轴线约成45螺旋线开。;31tsAttAA（横截面——面）maxtminmaxs解：确定危险点并画单元体tyxtxystτ－ττ－τ最大切应力及其作用面D（x面）D（y面）,45002s23材料力学•应力状态分析强度理论低碳钢铸铁MPa200;MPa240:ssts低碳钢tAt1)低碳钢圆轴受扭，沿横截面（作用面）断开maxt2）灰口铸铁圆轴受扭，沿45螺旋面（作用面)断开maxs（铸铁抗拉强度很低）破坏分析45——表明由最大切应力引起（剪切破坏）——表明由最大拉应力引起:MPa300~198b=t;MPa960~640cb=sMPa280~98tb=s灰口铸铁24材料力学•应力状态分析强度理论xy[例3]求图示单元体的主应力及主平面的位置解(一.解析法):观察分析,非典型单元体——10xs60045stsssss2222045sincosxyyxyx60MPay70s2xy2yxyxminmax)2(2tsssss主平面……微面E微面F0450135若求出，则可求得ysminmaxs取F微面为x面欲由主应力式求须知相互垂直二微面的应力minmaxsMPa103040013527010MPa208031ss(单位：MPa)70则E微面为450面30xyt40045t0452cos210210yyss0452sin)30(223027010)()(25材料力学•应力状态分析强度理论作应力圆思考：是否还用求相互垂直两微面的应力？标出点D1,D2——F、E两微面应力由点定圆：C以C为圆心，CD1为半径画圆——应力圆定主应力，主平面从D2（代表E微面）起转至A点（对应微面）maxs圆之右极——作用面maxs解(二.图解法):A(80，0)1030400135微面E微面FtaOsaD1(－10,－30)D2(60,－40)根据F、E两微面应力即可作出应力圆：sD1D2之垂直平分线与轴的交点C便是圆心，26材料力学•应力状态分析强度理论Pq*主应力迹线zzSIbSFtzIMys梁横力弯曲——分析截面上各点主应力大小及方向minmaxss单元体：t（横弯曲）st22tg0可见，的方向将随点位置不同而变化31s12345s2222tss）（31ss27材料力学•应力状态分析强度理论1s1s1s35s30–45°0sA2D2D1CA1Ot2a0sD2A1Ot2a0CD1A2st22tg