1矢量分析

第一章矢量分析目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论第一节矢性函数1.矢性函数:设X是一个非空数集,若存在一个对应规则，使得有唯一确定的与之对应,记作()AAtY是一个非空矢量集,则称为t的矢性函数，()At的坐标形式为：()()()xyzAAtiAtjAtk()At()xAt()yAt()zAt目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论称为此曲线的矢量方程.当t变化时，将的起点取在原点，()At的终点所形成的()At称为的矢端曲线；()At曲线，矢端曲线的参数方程：如圆柱螺旋线参数方程为矢量方程为2.矢端曲线：目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论,0,0当00tt时,有0()AtA00lim()ttAtA若记作3.极限：设矢性函数在点的某去心邻域内有定义,则称常矢为当时的极限,0A0lim()ttAt000lim()lim()lim()xyzttttttiAtjAtkAt目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论极限运算法则目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论则称它在该区间上连续.且设矢性函数在点的某去心邻域内有定义,00lim()(),ttAtAt则称在连续.若在某区间上每一点都连续,4.连续:在连续在连续.目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论第二节矢性函数的导数与微分若点的某去心邻域内有定义,设矢性函数00()()limlimttAAttAttt则称此极限为在点1.导数:存在，处的导数（导矢），记作dAdt()At或()At在()()()xyzAtiAtjAtk目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论设证明且证明：例1.目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论2.微分：设矢性函数称d()dAAtt为在处的微分.dA()At与同向，0t0t与反向，dA()At()Att目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论3.导数公式1)()0C2)()ABAB3)()uAuAuA4)()ABABAB5)()ABABAB6)(())dAutdtdAdududt目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论例2.证明ConstA0dAAdt证明：ConstA22ConstAA2dAdt2dAAdt0目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论4.导矢的几何意义AtA与同向，0tAAt与反向，0tAt始终指向t增大的方向,()At0limtAt始终指向t增大的方向.为切向量，AtA目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论rxiyjzk矢径函数drdxidyjdzk222()()()drdxdydz弧微分222()()()dsdxdydz从而1,drdrdsds为单位切向量，drds始终指向参数s增大的方向.取参数为弧长s（自然参数）目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论例3.求曲线()2cos2sin4rijk4在处的切线和法平面方程.解：()2sin2cos4rijk4当时，()224rijk()2244rijk切线方程为：22422xyz法平面方程为：2(2)2(2)4()0xyz目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论第三节矢性函数的积分若在区间I上，有1.不定积分:记作()Atdt()BtC则称为在区间I上的一个原函数；原函数全体，称作在区间I上的不定积分，()Atdt()()()xyziAtdtjAtdtkAtdt为的一个原函数，若则()Atdt在区间I上的目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论2.不定积分公式1)()()kAtdtkAtdt2)[()()]()()AtBtdtAtdtBtdt3)()()utdtutdt4)()()AtdtAtdt5)()()AtdtAtdt6)()()Auutdt7)()()AuBtdt()()()()AuBtAuBtdt()Audu目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论2.定积分：21()TTAtdt则称设矢性函数在区间上连续，极限为在上的积分.21()()BTBT222111()()()TTTxyzTTTiAtdtjAtdtkAtdt21()TTAtdt21()TTAtdt牛顿-莱布尼兹公式目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论例1.323()(2)3(2),Atttitjttk解：已知计算11)lim()tAt2)()dAtdt3)()Atdt104)()Atdt11)lim()tAt323111lim(2)lim3lim(2),tttttitjttk33,ijk2)()dAtdt323(2)3(2),dddttitjttkdtdtdt22(23)6(23),titjtk目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论3)()Atdt323(2)3(2),ttdtitdtjttdtk2432411()()44ttitjttkC104)()Atdt102432411[()()]44ttitjttk3544ijk目录上页下页返回结束工程数学---------矢量分析与场论例2.解：计算22(1)tetdt22(1)tetdt22(1)(1)etdt21(1)etC例3.解：计算()()AtAtdt()()AtAtdt()()AtdAt()()()()AtAtAtAtdt()()AtAtC