第四节 两个随机变量函数的分布(概率论与数理统计)

第四节两个随机变量的函数的分布1、二维离散型随机变量的函数分布已知r.v.(X,Y)的概率分布,g(x,y)为已知的二元函数,转化为(X,Y)的事件问题方法求Z=g(X,Y)的概率分布当(X,Y)为离散型r.v.时,Z也是离散型),(kkjikyxgzZkkjkikkzyxgjikyYxXPzZP),(),()(,2,1k当(X,Y)为连续r.v.时，)()(zZPzFZ)),((zYXgPzDdxdyyxf),(}),(|),{(:zyxgyxDz其中例1设二维r.v.(X,Y)的概率分布为求XYXYYXYX,,,的概率分布离散型二维r.v.的函数112104161814181121XY解根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：P4141618181121X+YX-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-101120-1213210-10-2010-10-1/20故得PX+Y-2-101241414161121PX-Y-101234141418181PXY-2-1016141812411PY/X-1-1/2014181241161设X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且独立，具有可加性的两个离散分布设X~P(1),Y~P(2),且独立，则X+Y~B(n1+n2,p)则X+Y~P(1+2)X~P(1),Y~P(2),则Z=X+Y的可能取值为0,1,2,,,),()(0kiikYiXPkZPkiikiikeie021)!(!21Poisson分布可加性的证明kiikiikikke021)!(!!!21!)(2121kek,2,1,0k即1212()!kkePk,2,1,0k这正是参数为21的泊松分布.设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数2、二维连续型随机变量的函数分布又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情况下，Z是一连续型随机变量。求出Z的概率密度求解过程中，关键在于将事件{Z≤z}等价地转化为用},),{(}),({zDYXzYXg其中(X,Y)表示的事件即首先找出上式右端的积分区域Dz。如果求得了),(zFZ那么可通过).(zfZ例1：设且X与Y相互独立，求的概率密度。由于X与Y相互独立，于是(X,Y)的概率密度为解：X和Y的概率密度分别为先求Z的分布函数FZ(z)当z0时FZ(z)=0当z≥0时所以于是可得的概率密度如果一随机变量的概率密度为上式，称该随机变量服从参数为的瑞利分布。由题可知，若X,Y独立服从同一分布则服从参数为的瑞利分布。设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，现求Z=X+Y的概率密度。令，则Z的分布函数为(1)和的分布固定z和y对积分作换元法，令x+y=u得于是：yxOzyxz由概率密度定义，即得Z的概率密度为由X与Y的对称性，又可得当X与Y相互独立时，有其中分别是X和Y的密度函数。上式称为()()XYfxfy与的卷积.例2：设X，Y是相互独立且分别服从参数1,和2,的分布，即X，Y的概率密度分别为Г--函数证明：X+Y服从参数为的分布证：由定义，Z=X+Y的概率密度为当z≤0时fZ(z)=0当z0时,综上所述，Z=X+Y的概率密度为这正是参数为的分布的概率密度。例2已知(X,Y)的联合d.f.为其他,010,10,1),(yxyxfZ=X+Y,求fZ(z)解法一：易知，随机变量X、Y相互独立且均服从]1,0[上的均匀分布，其密度函数为]1,0[,0]1,0[,1)(xxxfX1,[0,1]()0,[0,1]Yyfyy由卷积公式可得dxxzfxfzfYXZ)()()(dxxzfxfzfYXZ)()()(显然，只有x，z满足1010xzx时，上述积分的被积函数不等于零，由上图可知：.zdxzdxzfzzz其它,0,211,10,1)(110z121xzx1zxo,01,2,12,0,zzzz其它解法二从分布函数出发)()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(当z0时，0)(zFZ1yx1当0z1时，xzzZdydxzF001)(zdxxz0)(2/2zzzfZ)(yx11•z•z当1z2时，xzzdydx011111)(1zdxxzz12/22zzzzfZ2)(z-11yx1•z•z)1()(zzFZ1yx122当2z时，1)(zFZ0)(zfZ21,210,20,0)(zzzzzzzfZ或正态随机变量的结论若X,Y相互独立,),(~),,(~222211NYNX则),(~222121NYX若(X,Y)221212~(,;,;)N则)2,(~22212121NYXniNXiii,,2,1),,(~2若nXXX,,,21相互独立则),(~1211niiniiniiNX推广(2)max(,)min(,)UXYVXY及的分布设(X,Y)的分布函数为F(x,y),现求U与V的分布函数设12,,,nXXX是n个相互独立的随机变量，且iX的分布函数为当X与Y独立时有则的分布函数为若12,,,nXXX相互独立且具有相同的分布函数F(x),则有XYXY解:(1)串联情况XY(2)并联情况XY1L2LK若系统L1与L2采用如图所示的连接方式，即L2备用.这时，若系统L1损坏，系统L2马上开始工作，此时整个系统的寿命为L1与L2的寿命之和.即系统的寿命为ZXY由和的分布公式知，当z≤0时，()0,Zfz当z0时，有()0()()()eedzxzxZfzfxfzxdxx(ee).zz从而Z=X+Y的概率密度为(ee),0;()0,0.zzZzfzzГ–函数10()ed(0).xtxttx返回