12016年中考数学与二次函数有关的压轴题纵观2016年全国各省市中考数学试卷其中与二次函数有关的压轴题,其考点涉及:一次函数、二次函数的性质,函数图像上点的坐标与方程的关系;轴对称和等腰三角形的性质;特殊平行四边形性质;图形的旋转变换;相似三角形的性质;锐角三角函数应用;圆的性质;阅读理解,等.129数学思想涉及:分类讨论;数形结合;转化,等.现选取部分省市的2016年中考题展示,以飨读者.一、与特殊平行四边形性质的有关综合题【题1】(2016•成都第28题)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=a(x+1)2﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,﹣),顶点为D,对称轴与x轴交于点H,过点H的直线l交抛物线于P,Q两点,点Q在y轴的右侧.(1)求a的值及点A,B的坐标;(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3:7的两部分时,求直线l的函数表达式;(3)当点P位于第二象限时,设PQ的中点为M,点N在抛物线上,则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形?若能,求出点N的坐标;若不能,请说明理由.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)把点C代入抛物线解析式即可求出a,令y=0,列方程即可求出点A、B坐标.(2)先求出四边形ABCD面积,分两种情形:①当直线l边AD相交与点M1时,根据S=×10=3,求出点M1坐标即可解决问题.②当直线l边BC相交与点M2时,同理可得点M2坐标.(3)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)且过点H(﹣1,0)的直线PQ的解析式为y=kx+b,得到b=k,利用方程组求出点M坐标,求出直线DN解析式,再利用方程组求出点N坐标,列出方程求出k,即可解决问题.【解答】解:(1)∵抛物线与y轴交于点C(0,﹣).∴a﹣3=﹣,解得:a=,∴y=(x+1)2﹣3当y=0时,有(x+1)2﹣3=0,2∴x1=2,x2=﹣4,∴A(﹣4,0),B(2,0).(2)∵A(﹣4,0),B(2,0),C(0,﹣),D(﹣1,﹣3)∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+(+3)×1+×2×=10.从面积分析知,直线l只能与边AD或BC相交,所以有两种情况:①当直线l边AD相交与点M1时,则S=×10=3,∴×3×(﹣y)=3∴y=﹣2,点M1(﹣2,﹣2),过点H(﹣1,0)和M1(﹣2,﹣2)的直线l的解析式为y=2x+2.②当直线l边BC相交与点M2时,同理可得点M2(,﹣2),过点H(﹣1,0)和M2(,﹣2)的直线l的解析式为y=﹣x﹣.综上所述:直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣x﹣.(3)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)且过点H(﹣1,0)的直线PQ的解析式为y=kx+b,∴﹣k+b=0,∴b=k,∴y=kx+k.由,∴+(﹣k)x﹣﹣k=0,∴x1+x2=﹣2+3k,y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2,∵点M是线段PQ的中点,∴由中点坐标公式的点M(k﹣1,k2).假设存在这样的N点如图,直线DN∥PQ,设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3由,解得:x1=﹣1,x2=3k﹣1,∴N(3k﹣1,3k2﹣3)∵四边形DMPN是菱形,∴DN=DM,∴(3k)2+(3k2)2=()2+()2,整理得:3k4﹣k2﹣4=0,∵k2+1>0,∴3k2﹣4=0,解得k=±,3∵k<0,∴k=﹣,∴P(﹣3﹣1,6),M(﹣﹣1,2),N(﹣2﹣1,1)∴PM=DN=2,∵PM∥DN,∴四边形DMPN是平行四边形,∵DM=DN,∴四边形DMPN为菱形,∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形,此时点N的坐标为(﹣2﹣1,1).【题2】(2016•泰安第28题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x轴交于点E、B.(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;(2)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P在AC上方),作PD平行与y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?并求出最大面积;(3)若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形,且AE为其一边,求点M、N的坐标.【考点】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数关系式,函数极值额确定方法,平行四边形的性质和判定,解本题的关键是建立函数关系式求极值.【分析】(1)设出抛物线解析式,用待定系数法求解即可;4(2)先求出直线AB解析式,设出点P坐标(x,﹣x2+4x+5),建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x,根据二次函数求出极值;(3)先判断出△HMN≌△AOE,求出M点的横坐标,从而求出点M,N的坐标.【解答】解:(1)设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+9,∵抛物线与y轴交于点A(0,5),∴4a+9=5,∴a=﹣1,y=﹣(x﹣2)2+9=﹣x2+4x+5,(2)当y=0时,﹣x2+4x+5=0,∴x1=﹣1,x2=5,∴E(﹣1,0),B(5,0),设直线AB的解析式为y=mx+n,∵A(0,5),B(5,0),∴m=﹣1,n=5,∴直线AB的解析式为y=﹣x+5;设P(x,﹣x2+4x+5),∴D(x,﹣x+5),∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x,∵AC=4,∴S四边形APCD=×AC×PD=2(﹣x2+5x)=﹣2x2+10x,∴当x=﹣=时,∴S四边形APCD最大=,(3)如图,过M作MH垂直于对称轴,垂足为H,∵MN∥AE,MN=AE,∴△HMN≌△AOE,5∴HM=OE=1,∴M点的横坐标为x=3或x=1,当x=1时,M点纵坐标为8,当x=3时,M点纵坐标为8,∴M点的坐标为M1(1,8)或M2(3,8),∵A(0,5),E(﹣1,0),∴直线AE解析式为y=5x+5,∵MN∥AE,∴MN的解析式为y=5x+b,∵点N在抛物线对称轴x=2上,∴N(2,10+b),∵AE2=OA2+0E2=26∵MN=AE∴MN2=AE2,∴MN2=(2﹣1)2+[8﹣(10+b)]2=1+(b+2)2∵M点的坐标为M1(1,8)或M2(3,8),∴点M1,M2关于抛物线对称轴x=2对称,∵点N在抛物线对称轴上,∴M1N=M2N,∴1+(b+2)2=26,∴b=3,或b=﹣7,∴10+b=13或10+b=3∴当M点的坐标为(1,8)时,N点坐标为(2,13),当M点的坐标为(3,8)时,N点坐标为(2,3),【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数关系式,函数极值额确定方法,平行四边形的性质和判定,解本题的关键是建立函数关系式求极值.【题2】(2016•东营第25题)参考答案:6【题3】(2016•扬州第28题)如图1,二次函数2yaxbx=+的图像过点A(-1,3),顶点B的横坐标为71.(1)求这个二次函数的表达式;(2)点P在该二次函数的图像上,点Q在x轴上,若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;(3)如图3,一次函数ykx=(k>0)的图像与该二次函数的图像交于O、C两点,点T为该二次函数图像上位于直线OC下方的动点,过点T作直线TM⊥OC,垂足为点M,且M在线段OC上(不与O、C重合),过点T作直线TN∥y轴交OC于点N。若在点T运动的过程中,2ONOM为常数,试确定k的值。参考答案:(1)xxy22(2)P(415,)或P(213,)(3)k=21二、与轴对称和等腰三角形性质有关的综合题xy图3NMOCTxy图2(备用图)BAOxy13-1图1BAO8【题4】(2016•益阳第21题)如图,顶点为(3,1)A的抛物线经过坐标原点O,与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;(2)过B作OA的平行线交y轴于点C,交抛物线于点D,求证:△OCD≌△OAB;(3)在x轴上找一点P,使得△PCD的周长最小,求出P点的坐标.考点:考查二次函数,三角形的全等、三角形的相似。解析:(1)∵抛物线顶点为(3,1)A,设抛物线对应的二次函数的表达式为2(3)1yax,将原点坐标(0,0)代入表达式,得13a.∴抛物线对应的二次函数的表达式为:212333yxx.(2)将0y代入212333yxx中,得B点坐标为:(23,0),设直线OA对应的一次函数的表达式为ykx,将(3,1)A代入表达式ykx中,得33k,∴直线OA对应的一次函数的表达式为33yx.∵BD∥AO,设直线BD对应的一次函数的表达式为33yxb,将B(23,0)代入33yxb中,得2b,∴直线BD对应的一次函数的表达式为323yx.由232312333yxyxx得交点D的坐标为(3,3),将0x代入323yx中,得C点的坐标为(0,2),由勾股定理,得:OA=2=OC,AB=2=CD,23OBOD.在△OAB与△OCD中,OAOCABCDOBOD,∴△OAB≌△OCD.(3)点C关于x轴的对称点C的坐标为(0,2),则CD与x轴的交点即为点P,它使得△PCD的周长最小.过点D作DQ⊥y,垂足为Q,则PO∥DQ.∴CPO∽CDQ.9∴POCODQCQ,即253PO,∴235PO,∴点P的坐标为23(,0)5.【题5】(2016•哈尔滨第27题)如图,二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象经过点A(1,4),对称轴是直线x=-32,线段AD平行于x轴,交抛物线于点D.在y轴上取一点C(0,2),直线AC交抛物线于点B,连结OA,OB,OD,BD.(1)求该二次函数的解析式;(2)设点F是BD的中点,点P是线段DO上的动点,将△BPF沿边PF翻折,得到△B′PF,使△B′PF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的14,若点B′在OD上方,求线段PD的长度;(3)在(2)的条件下,过B′作B′H⊥PF于H,点Q在OD下方的抛物线上,连接AQ与B′H交于点M,点G在线段AM上,使∠HPN+∠DAQ=135°,延长PG交AD于N.若AN+B′M=52,求点Q的坐标.参考答案:(1)xxy32(2)∵A(1,4)C(0,2)∴22xyAC,∴B(-2,-2)∵D(-4,4)∴BD102,由条件得P´是PD的中点,四边形BFB´P是菱形,∴PB=10∵P在xy上,∴P(-1,1)∴PD=23【题6】(2016•临沂第26题)如图,在平面直角坐标系中,直线y=—2x+10与x轴、y轴相交于A、B两xyADCBOxyADCBOxyADCBO10点.点C的坐标是(8,4),连接AC、BC.(1)求过O、A、C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA?(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。参考答案:1112【题7】(2016•天津第25题)参考答案:13OyxPGFNMEDCBA图1KOyxCBA图2三、与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题【题8】(2016•重庆第26题)如图1,二次函数1x2-x21y2的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A,B两点,点A的坐标为(0,1),点B在第一象限内,点C是二次函数图象的顶点,点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点,过点B作x轴的垂线,垂足为N,且S△AMO︰S四边形AONB=1︰48。(1)求直线AB和直线BC的解析式;(2)点P是线段AB上一点,点D是线段BC上一点,PD//x轴,射线PD与抛物线交于点G,过点P作PE⊥x轴于点E,PF⊥BC于点F,当P