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-1-考纲要求五年考题统计命题规律及趋势1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义;能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示,并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.3.会进行复数代数形式的四则运算.4.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.2013全国Ⅰ,文22013全国Ⅱ,文22014全国Ⅰ,文32014全国Ⅱ,文22015全国Ⅰ,文32015全国Ⅱ,文22016全国Ⅱ,文22016全国Ⅰ,文22016全国Ⅲ,文22017全国Ⅰ,文32017全国Ⅱ,文22017全国Ⅲ,文21.从近五年的高考试题来看,复数是高考考查的热点之一,题目处在试卷的前三个题的位置,难度较小.2.重点考查复数的基本概念、复数的模、复数的几何意义、复数的相等、复数的四则运算以及共轭复数,其中复数的乘、除运算是高考考查的热点.-2-知识梳理考点自测1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如(a∈R,b∈R)的数叫做复数,其中实部为,虚部为当b=0时,a+bi为实数;当a=0,且b≠0时,a+bi为纯虚数;当b≠0时,a+bi为虚数复数相等a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)⇔实数能比较大小,虚数不能比较大小共轭复数a+bi与c+di共轭(a,b,c,d∈R)⇔实数a的共轭复数是a本身复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,叫做实轴,y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数a+biaba=c,且b=da=c,且b=-dx轴-3-知识梳理考点自测内容意义备注复数的模设𝑂𝑍对应的复数为z=a+bi(a,b∈R),则向量𝑂𝑍的长度叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi||z|=|a+bi|=𝑎2+𝑏2(a,b∈R)-4-知识梳理考点自测2.复数的几何意义-5-知识梳理考点自测3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=;④除法:𝑧1𝑧2=𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i=(𝑎+𝑏i)(𝑐-𝑑i)(𝑐+𝑑i)(𝑐-𝑑i)=𝑎𝑐+𝑏𝑑𝑐2+𝑑2+𝑏𝑐-𝑎𝑑𝑐2+𝑑2i(c+di≠0).(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.(a+c)+(b+d)I(a-c)+(b-d)I(ac-bd)+(ad+bc)Iz2+z1z1+(z2+z3)-6-知识梳理考点自测(3)复数加、减法的几何意义若复数z1,z2对应的向量𝑂𝑍1,𝑂𝑍2不共线,则复数z1+z2是以𝑂𝑍1,𝑂𝑍2为两邻边的平行四边形的对角线𝑂𝑍所对应的复数;复数z1-z2是𝑂𝑍1−𝑂𝑍2=𝑍2𝑍1所对应的复数.1.(1±i)2=±2i;1+𝑖1-𝑖=i;1-𝑖1+𝑖=-i.2.-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R).3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).-7-知识梳理考点自测1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“×”.(1)若a∈C,则a2≥0.()(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.()(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.()(4)方程x2+x+1=0没有解.()(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小.()×××××-8-知识梳理考点自测2.(2017全国Ⅰ,文3)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)3.(2017全国Ⅱ,文2)(1+i)(2+i)=()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i4.(2017全国Ⅲ,文2)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C解析:∵i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,∴(1+i)2=2i为纯虚数,故选C.B解析:(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i,故选B.C解析:由题意可得z=-1-2i,在复平面内对应点(-1,-2),则该点位于第三象限.故选C.-9-知识梳理考点自测5.(2017福建厦门一模,文13)若复数z满足z(1+i)=2-i(i为虚数单位),则z的模为.102解析:∵z(1+i)=2-i(i为虚数单位),∴z(1+i)(1-i)=(2-i)(1-i),∴2z=1-3i,∴z=12−32i,∴|z|=122+-322=102.-10-考点一考点二考点三复数的有关概念例1(1)设复数z满足1+𝑧1-𝑧=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.2(2)下面是关于复数z=2-1+i的四个结论:p1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1.其中正确的是()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4(3)已知复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.AC5-11-考点一考点二考点三解析:(1)∵1+𝑧1-𝑧=i,∴z=i-1i+1=(i-1)(-i+1)(i+1)(-i+1)=i,∴|z|=1.(2)z=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,故|z|=2,p1错误;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3错误;p4正确.(3)因为z=(1+2i)(3-i)=5+5i,所以z的实部是5.-12-考点一考点二考点三思考求解与复数概念相关问题的基本思路是什么?解题心得求解与复数概念相关问题的基本思路:复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念的问题时,需先把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.-13-考点一考点二考点三对点训练1(1)(2017山西临汾二模)设复数z满足z+3i=3-i,则|z|=()A.3-4iB.3+4iC.5D.5(2)(2017安徽蚌埠一模,文2)若复数z=1-ii(i为虚数单位),则z的共轭复数𝑧=()A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-iDB解析:(1)∵z+3i=3-i,∴z=3-4i,∴|z|=9+16=5,故选D.(2)∵z=1-ii=-i(1-i)-i·i=-i-1,∴z的共轭复数𝑧=-1+i.故选B.-14-考点一考点二考点三复数的几何意义例2(1)(2017山东潍坊一模,文2)已知复数z满足(1-i)z=i,则复数𝑧在复平面内的对应点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5B.5C.-4+iD.-4-iCA解析:(1)∵(1-i)z=i,∴(1+i)(1-i)z=i(1+i),∴2z=i-1,∴z=-12+12i.∴复数𝑧=-12−12i在复平面内的对应点-12,-12位于第三象限.故选C.(2)由题意知z2=-2+i.因为z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=-5.故选A.-15-考点一考点二考点三思考复数具有怎样的几何意义?几何意义的作用是什么?解题心得1.复数z=a+bi(a,b∈R)Z(a,b)𝑂𝑍=(a,b).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.-16-考点一考点二考点三对点训练2(1)(2017山西太原一模)已知zi=2-i,则复数z在复平面对应点的坐标是()A.(-1,-2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(1,2)(2)(2017山东潍坊二模,文1)设复数z与在复平面内对应的点关于实轴对称,则z等于()A.-1+2iB.1+2iC.1-2iD.-1-2i1+3i1-iAD解析:(1)∵zi=2-i,∴z=2-ii=(2-i)ii2=-1-2i,∴复数z在复平面对应点的坐标是(-1,-2).(2)∵1+3i1-i=(1+3i)(1+i)(1-i)(1+i)=-2+4i2=-1+2i,∴1+3i1-i在复平面内对应的点的坐标为(-1,2).由题意,得复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),则z=-1-2i.故选D.-17-考点一考点二考点三复数的代数运算例3(1)(2017河北邯郸一模,文2)已知a,b∈R,i为虚数单位,当a+bi=i(2-i)时,则𝑏+𝑎i𝑎-𝑏i=()A.iB.-iC.1+iD.1-i(2)(2017河南濮阳一模,文2)计算1+i1-i2017=()A.-1B.iC.-iD.1AB解析:(1)由a+bi=i(2-i)=2i+1,解得a=1,b=2.则𝑏+𝑎i𝑎-𝑏i=2+i1-2i=(2+i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=5i5=i,故选A.(2)1+i1-i2017=(1+i)2(1-i)(1+i)2017=2i22017=i2017=i,故选B.-18-考点一考点二考点三思考利用复数的四则运算求复数的一般方法是什么?解题心得利用复数的四则运算求复数的一般方法:(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算.(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算化简.-19-考点一考点二考点三对点训练3(1)(2017安徽安庆二模,文2)设i为虚数单位,复数z满足1+i𝑧=1-i,则复数z=()A.2iB.-2iC.iD.-i(2)(2017山西临汾二模,文2)设复数z=1+i1-i,则z𝑧=()A.1+iB.1-iC.1D.2CC解析:(1)∵1+i𝑧=1-i,∴z=1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2=i.故选C.(2)∵z=1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2=i,∴z𝑧=|z|2=1.故选C.-20-考点一考点二考点三1.复数z=a+bi(a,b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的,两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于复数z=a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.2.在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形法则,其方向是应注意的问题,平移往往和加法、减法相结合.3.在复数的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进行,除法则需分母实数化.-21-考点一考点二考点三