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-1-考纲要求五年考题统计命题规律及趋势1.在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角与斜率的概念及其内在联系.3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.4.掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.2013全国Ⅱ,文102014全国Ⅱ,文102016全国Ⅲ,文122017全国Ⅱ,文121.直线方程是高考考查的热点和重点,但高考对直线的考查并不单独命题,一般与其他知识综合考查,既有直线与圆、直线与圆锥曲线的小综合,又有直线与圆、直线与圆锥曲线的大综合.2.直线方程的设解形式及直线方程形式的转化属于高考高频考点.3.题目的难度:求直线方程内容比较容易.-2-知识梳理考点自测1.直线的倾斜角(1)定义:x轴与直线方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.(2)倾斜角的范围为.2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tanα,倾斜角是的直线没有斜率.(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为π2k=𝑦2-𝑦1𝑥2-𝑥1.正向向上0°[0,π)-3-知识梳理考点自测3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距,斜率与x轴不垂直的直线点斜式过一点,斜率两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距不过原点,且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平面内所有直线都适用y=kx+by-y0=k(x-x0)𝑦-𝑦1𝑦2-𝑦1=𝑥-𝑥1𝑥2-𝑥1𝑥𝑎+𝑦𝑏=1-4-知识梳理考点自测特殊直线的方程(1)直线过点P1(x1,y1),垂直于x轴的方程为x=x1;(2)直线过点P1(x1,y1),垂直于y轴的方程为y=y1;(3)y轴的方程为x=0;(4)x轴的方程为y=0.-5-知识梳理考点自测1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的倾斜角越大,其斜率越大.()(2)过点M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.()(3)若直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.()(5)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离.()×××√×-6-知识梳理考点自测2.已知两点A(-3,√3),B(√3,-1),则直线AB的斜率是()A.√3B.-√3C.√33D.-√33D解析:斜率k=-1-√3√3-(-3)=-√33,故选D.3.如果A·C0,且B·C0,那么直线Ax+By+C=0不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C解析:由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距-𝐶𝐴0,在y轴上的截距-𝐶𝐵0,故直线经过第一、第二、第四象限,不经过第三象限.-7-知识梳理考点自测4.过点(-1,2)且倾斜角为30°的直线方程为()A.√3x-3y+6+√3=0B.√3x-3y-6+√3=0C.√3x+3y+6+√3=0D.√3x+3y-6+√3=0A解析:∵k=tan30°=√33,∴直线方程为y-2=√33(x+1),即√3x-3y+6+√3=0.5.若过点P(1-a,1+a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是.(-2,1)解析:∵kPQ=tanθ=2𝑎-1-𝑎3-1+𝑎=𝑎-1𝑎+20,∴-2a1.-8-考点一考点二考点三直线的倾斜角与斜率例1(1)设直线l的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的范围是()A.[0,π)B.π4,π2C.π4,3π4D.π4,π2∪π2,3π4(2)经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线l的倾斜角α的范围是.(3)若直线l的斜率为k,倾斜角为α,而α∈π6,π4∪2π3,π,则k的取值范围是.C0,π4∪3π4,π[-√3,0)∪√33,1-9-考点一考点二考点三解析:(1)当cosθ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为π2;当cosθ≠0时,由直线方程可得斜率k=-1cos𝜃.∵cosθ∈[-1,1],且cosθ≠0,∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),即tanα∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又α∈[0,π),∴α∈π4,π2∪π2,3π4.综上可知,倾斜角α的范围是π4,3π4,故选C.(2)如图所示,kPA=-2-(-1)1-0=-1,kPB=1-(-1)2-0=1,由图可观察出,直线l倾斜角α的范围是0,π4∪3π4,π.-10-考点一考点二考点三(3)当π6≤απ4时,√33≤tanα1,∴√33≤k1;当2π3≤απ时,-√3≤tanα0,即-√3≤k0.∴k∈√33,1∪[-√3,0).-11-考点一考点二考点三思考直线倾斜角和直线的斜率有怎样的关系?解题心得直线的斜率与倾斜角的区别与联系直线l的斜率直线l的倾斜角α区别当直线l垂直于x轴时,l的斜率不存在当直线l垂直于x轴时,l的倾斜角为𝜋2联系①直线的斜率与直线的倾斜角𝜋2除外为一一对应关系.②当α∈0,𝜋2时,α越大,l的斜率越大;当α∈𝜋2,𝜋时,α越大,l的斜率越大.③所有直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率.④当α≠𝜋2时,斜率k=tanα,α∈[0,π).-12-考点一考点二考点三对点训练1(1)如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2(2)直线xsinα+y+2=0的倾斜角的范围是()A.[0,π)B.0,π4∪3π4,πC.0,π4D.0,π4∪π2,π(3)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B()为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为.0,√3DB(-∞,-√3]∪[1,+∞)-13-考点一考点二考点三解析:(1)直线l1的倾斜角α1是钝角,故k10,直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2α3,所以0k3k2,因此k1k3k2,故选D.(2)设倾斜角为θ,则有tanθ=-sinα,其中sinα∈[-1,1].又θ∈[0,π),所以0≤θ≤π4或34π≤θπ.(3)如题图,∵kAP=1-02-1=1,kBP=√3-00-1=-√3,∴k∈(-∞,-√3]∪[1,+∞).-14-考点一考点二考点三求直线的方程例2(1)若直线经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍,则该直线的方程为.(2)若直线经过点A(-,3),且倾斜角为直线x+y+1=0的倾斜角的一半,则该直线的方程为.(3)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,则直线MN的方程为.√3√3x+2y+1=0或2x+5y=0√3x-y+6=05x-2y-5=0-15-考点一考点二考点三解析:(1)①当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线方程为y=kx,将(-5,2)代入y=kx中,得k=-25,此时,直线方程为y=-25x,即2x+5y=0.②当横截距、纵截距都不为零时,设所求直线方程为𝑥2𝑎+𝑦𝑎=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-12,此时,直线方程为x+2y+1=0.综上所述,所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.(2)由√3x+y+1=0得此直线的斜率为-√3,所以倾斜角为120°,从而所求直线的倾斜角为60°,故所求直线的斜率为√3.又过点(-√3,3),所以所求直线方程为y-3=√3(x+√3),即√3x-y+6=0.-16-考点一考点二考点三(3)设C(x0,y0),则M5+𝑥02,𝑦0-22,N7+𝑥02,𝑦0+32.因为点M在y轴上,所以5+𝑥02=0,所以x0=-5.因为点N在x轴上,所以𝑦0+32=0,所以y0=-3,即C(-5,-3),所以M0,-52,N(1,0),所以直线MN的方程为𝑥1+𝑦-52=1,即5x-2y-5=0.-17-考点一考点二考点三思考求直线方程时应注意什么?解题心得1.求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程形式,并注意各种形式的适用条件.2.涉及截距问题,还要考虑截距为0这一特殊情况.-18-考点一考点二考点三对点训练2已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:(1)BC边所在直线的方程;(2)BC边上中线AD所在直线的方程;(3)BC边的垂直平分线DE的方程.解(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,得BC的方程为𝑦-13-1=𝑥-2-2-2,即x+2y-4=0.(2)设BC边的中点D(x,y),则x=2-22=0,y=1+32=2.BC边的中线AD过A(-3,0),D(0,2)两点,所在直线方程为𝑥-3+𝑦2=1,即2x-3y+6=0.(3)由(1)知,直线BC的斜率k1=-12,则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2=2.所求直线方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.-19-考点一考点二考点三直线方程的应用(多考向)考向1与基本不等式相结合的最值问题例3若直线(a0,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()A.2B.3C.4D.5𝑥𝑎+𝑦𝑏=1C解析:将点(1,1)代入直线𝑥𝑎+𝑦𝑏=1,得1𝑎+1𝑏=1,a0,b0,故a+b=(a+b)1𝑎+1𝑏=2+𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2+2=4,当且仅当a=b=2时等号成立,故a+b的最小值为4.思考在求a+b的最小值时运用了什么数学方法?-20-考点一考点二考点三考向2与函数的导数的几何意义相结合的问题例4设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为0,π4,则点P的横坐标的取值范围为()A.-1,-12B.[-1,0]C.[0,1]D.12,1A解析:由题意知y'=2x+2,设P(x0,y0),则k=2x0+2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0,π4,所以0≤k≤1,即0≤2x0+2≤1.所以-1≤x0≤-12.思考直线方程与函数的导数的几何意义相结合的问题常见解法是什么?-21-考点一考点二考点三考向3与圆相结合的问题例5(2017湖北武昌1月调研,文13)已知直线l将圆C:x2+y2+x-2y+1=0平分,且与直线x+2y+3=0垂直,则l的方程为.2x-y+2=0解析:直线x+2y+3=0的斜率k=-12,则直线l斜率k=2.∵圆C:x2+y2+x-2y+1=0的圆心坐标为-12,1,∴所求的直线方程为y-1=2𝑥+12,即2x-y+2=0.思考直线方程与圆的方程相结合的问题常见解法是什么?解题心得1.在求a+b的最小值时运用了“1”的代换的数学方法;2.解决与函数导数的几何意义相结合的问题,一般是利用导数在切点处的值等于切线的斜率来求解相关问题;3.直线方程与圆的方程相结合的问题,一般是利用直线方程和圆的方程的图象找到它们的位置关系求解.-22-考点一考点二考点三对点训练3(1)过点P(-√3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的范围是()A.0,π6B.0,π3C.0,π6D.0,π3(2)已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是.(3)已知曲线y=1e𝑥+1,则在曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.D312-23-考点一考点二考点三解析:(1)如图,过点P作圆的切线PA,PB,切点分别为A,B.由题意知OP=2,OA=1,则sin∠OPA=12,所以∠OPA=π