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-1-知识梳理考点自测1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=.(2)商数关系:sin𝛼cos𝛼=𝛼≠π2+𝑘π,𝑘∈Z.1tanα-2-知识梳理考点自测2.三角函数的诱导公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sinα余弦cosα正切tanα口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限-sinα-sinαsinαcosαcosα-cosαcosα-cosαsinα-sinαtanα-tanα-tanα-3-知识梳理考点自测特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°角α的弧度数0πsinαcosα---tanα--1-001010-101-4-知识梳理考点自测234151.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)对任意的角α,β有sin2α+cos2β=1.()(3)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.()(2)若α∈R,则tanα=sin𝛼cos𝛼恒成立.()(4)若cos(nπ-θ)=13(n∈Z),则cosθ=13.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)×(4)×-5-知识梳理考点自测234152.已知cos3π2-𝜃=35,且|θ|π2,则tanθ=()A.-43B.43C.-34D.34答案解析解析关闭∵cos3π2-𝜃=35,∴sinθ=-35.又|θ|π2,∴cosθ=45,则tanθ=-34.答案解析关闭C-6-知识梳理考点自测234153.函数f(x)=15sin𝑥+π3+cos𝑥-π6的最大值为()A.65B.1C.35D.15答案解析解析关闭因为cos𝑥-π6=cosπ2-𝑥+π3=sin𝑥+π3,所以f(x)=15sin𝑥+π3+sin𝑥+π3=65sin𝑥+π3,故函数f(x)的最大值为65.故选A.答案解析关闭A-7-知识梳理考点自测234154.(2017全国Ⅱ,理14)函数的最大值是.f(x)=sin2x+√3cosx-34𝑥∈0,π2答案解析解析关闭由题意可知f(x)=1-cos2x+√3cosx-34=-cos2x+√3cosx+14=-cos𝑥-√322+1.因为x∈0,π2,所以cosx∈[0,1].所以当cosx=√32时,函数f(x)取得最大值1.答案解析关闭1-8-知识梳理考点自测234155.(2017北京,理12)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则cos(α-β)=.13答案解析解析关闭方法1:因为角α与角β的终边关于y轴对称,根据三角函数定义可得sinβ=sinα=13,cosβ=-cosα,因此,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-2√232+132=-79.方法2:由角α与角β的终边关于y轴对称可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,则cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos2α=2sin2α-1=2×132-1=-79.答案解析关闭-79-9-考点1考点2考点3考点1同角三角函数基本关系式的应用例1已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=15.(1)求tanα的值;(2)把1cos2𝛼-sin2𝛼用tanα表示出来,并求其值.答案答案关闭(1)联立方程sin𝛼+cos𝛼=15,①sin2𝛼+cos2𝛼=1.②由①得cosα=15-sinα,将其代入②,整理,得25sin2α-5sinα-12=0.∵α是三角形的内角,∴sin𝛼=45,cos𝛼=-35,∴tanα=-43.(2)1cos2𝛼-sin2𝛼=sin2𝛼+cos2𝛼cos2𝛼-sin2𝛼=sin2𝛼+cos2𝛼cos2𝛼cos2𝛼-sin2𝛼cos2𝛼=tan2𝛼+11-tan2𝛼.∵tanα=-43,∴1cos2𝛼-sin2𝛼=-432+11--432=-257.-10-考点1考点2考点3思考同角三角函数基本关系式有哪些用途?3.关于sinα,cosα的齐次式,往往化为关于tanα的式子.解题心得1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用tanα=sin𝛼cos𝛼𝛼≠𝑘π+π2,𝑘∈Z可以实现角α的弦切互化.2.“1”的灵活代换:1=cos2α+sin2α=(sinα+cosα)2-2sinαcosα=tanπ4.-11-考点1考点2考点3对点训练1(1)已知2sinαtanα=3,则cosα的值是()②求sin2α+2sinαcosα的值.A.-1B.-12C.34D.12(2)已知tanα=-43.①求sin𝛼-4cos𝛼5sin𝛼+2cos𝛼的值;答案答案关闭(1)D由已知得2sin2α=3cosα,∴2cos2α+3cosα-2=0,(cosα+2)(2cosα-1)=0.又∵cosα∈[-1,1],∴cosα≠-2,∴cosα=12,故选D.(2)解:①sin𝛼-4cos𝛼5sin𝛼+2cos𝛼=tan𝛼-45tan𝛼+2=-43-45×-43+2=87.②sin2α+2sinαcosα=sin2𝛼+2sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=tan2𝛼+2tan𝛼1+tan2𝛼=169-831+169=-825.-12-考点1考点2考点3考点2利用sinα±cosα与sinαcosα关系求值例2已知关于x的方程2x2-(√3+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ,且θ∈(0,2π).(1)求sin2𝜃sin𝜃-cos𝜃+cos𝜃1-tan𝜃的值;(2)求m的值;(3)求方程的两根及此时θ的值.答案答案关闭(1)由根与系数的关系可知sin𝜃+cos𝜃=√3+12,①sin𝜃·cos𝜃=𝑚2,②而sin2𝜃sin𝜃-cos𝜃+cos𝜃1-tan𝜃=sin2𝜃sin𝜃-cos𝜃+cos2𝜃cos𝜃-sin𝜃=sinθ+cosθ=√3+12.(2)由①两边平方得1+2sinθcosθ=2+√32,将②代入得m=√32.(3)当m=√32时,原方程变为2x2-(1+√3)x+√32=0,解得x1=√32,x2=12,则sin𝜃=√32,cos𝜃=12或sin𝜃=12,cos𝜃=√32.∵θ∈(0,2π),∴θ=π6或θ=π3.-13-考点1考点2考点3思考sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα这三个式子之间有怎样的关系?解题心得1.通过平方,sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα之间可建2.利用上述关系,对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα这三个式子,可以知一求二.立联系,若令sinα+cosα=t,则sinαcosα=𝑡2-12,sinα-cosα=±2-𝑡2(注意根据α的范围选取正、负号).-14-考点1考点2考点3对点训练2(1)已知sinα-cosα=√2,α∈(0,π),则tanα=()A.-1B.-√22C.√22D.1(2)若sinθ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两个根,则m的值为()A.1+√5B.1-√5C.1±√5D.-1-√5答案:(1)A(2)B-15-考点1考点2考点3解析:(1)(方法一)因为sinα-cosα=√2,所以(sinα-cosα)2=2,所以sin2α=-1.因为α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以2α=3π2.所以α=3π4,所以tanα=-1.-16-考点1考点2考点3(方法二)由sin𝛼-cos𝛼=√2,sin2𝛼+cos2𝛼=1,得2cos2α+2√2cosα+1=0,即(√2cosα+1)2=0,所以cosα=-√22.又α∈(0,π),所以α=3π4,所以tanα=tan3π4=-1.-17-考点1考点2考点3(方法三)因为sinα-cosα=√2,所以√2sin𝛼-π4=√2,所以sin𝛼-π4=1.因为α∈(0,π),所以α=3π4,所以tanα=-1.(2)由题意得sinθ+cosθ=-𝑚2,sinθcosθ=𝑚4,又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,所以𝑚24=1+𝑚2,解得m=1±√5,又Δ=4m2-16m≥0,解得m≤0或m≥4,所以m=1-√5,故选B.-18-考点1考点2考点3考点3诱导公式的应用(多考向)考向1利用诱导公式化简三角函数式例3(1)已知sin(π-α)=log814,且α∈-π2,0,则tan(2π-α)的值为()A.-2√55B.2√55C.±2√55D.√52(2)设f(α)=2sin(π+𝛼)cos(π-𝛼)-cos(π+𝛼)1+sin2𝛼+cos3π2+𝛼-sin2π2+𝛼(1+2sinα≠0),则f-23π6=.思考利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求各是什么?答案:(1)B(2)√3-19-考点1考点2考点3解析:(1)sin(π-α)=sinα=log814=-23.又因为α∈-π2,0,则cosα=1-sin2𝛼=√53,所以tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα=-sin𝛼cos𝛼=2√55.-20-考点1考点2考点3(2)因为f(α)=(-2sin𝛼)(-cos𝛼)+cos𝛼1+sin2𝛼+sin𝛼-cos2𝛼=2sin𝛼cos𝛼+cos𝛼2sin2𝛼+sin𝛼=cos𝛼(1+2sin𝛼)sin𝛼(1+2sin𝛼)=1tan𝛼,所以f-23π6=1tan-23π6=1tan-4π+π6=1tanπ6=√3.-21-考点1考点2考点3考向2利用诱导公式求值例4(1)已知θ是第四象限角,且sin𝜃+π4=35,则tan𝜃-π4=.(2)已知tanπ6-𝛼=√33,则tan5π6+𝛼=.答案:(1)-43(2)-√33思考观察题目中的两角之间有什么关系?当所给两角互补或互余时,怎样简化解题过程?-22-考点1考点2考点3解析:(1)∵sin𝜃+π4=35,∴cos𝜃-π4=cos𝜃+π4-π2=sin𝜃+π4=35.又θ是第四象限角,∴θ-π4是第三或第四象限角.∴sin𝜃-π4=-45.∴tan𝜃-π4=-43.-23-考点1考点2考点3(2)∵π6-𝛼+5π6+𝛼=π,∴tan5π6+𝛼=-tanπ-5π6+𝛼=-tanπ6-𝛼=-√33.-24-考点1考点2考点3解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π6+θ,π3+θ与2π3-θ,π4+θ与3π4-θ等.-25-考点1考点2考点3对点训练3(1)已知A=sin(𝑘π+𝛼)sin𝛼+cos(𝑘π+𝛼)cos𝛼(k∈Z),则A的值构成的集合是()A.{1,-1,2,-2}B.{-1,1}C.{2,-2}D.{1,-1,0,2,-2}(2)sin600°+tan240°的值等于.(3)已知sin7π12+𝛼=23,则cos𝛼-11π12=.答案:(1)C(2)√32(3)-23-26-考点1考点2考点3解析:(1)当k为偶数时,A=sin𝛼sin𝛼+cos𝛼cos𝛼=2;当k为奇数时,A=-sin𝛼sin𝛼−cos𝛼cos𝛼=-2.(2)sin600°+tan240°=sin(720°-120°)+tan(180°+60°)=-sin120°+tan60°=-√32+