3.4 克龙尼克-潘纳模型

§3.4克龙尼克－潘纳（Kronig-Penney）模型布洛赫定理说明了晶体中电子波的共性，即均为调幅平面波。但当不知道周期势V(x)的具体形式时，是无法知道调幅因子U(x)及电子的能量E的具体形式。克龙尼克－潘纳模型是周期性势场为一维方势阱的特例。图3-4克龙尼克—潘纳周期场模型0xb-cx00)(0当当VxV该模型的数学表达在其他区域，粒子的势能为V(X）=V（x+na）)()(xuexikxEVdxdm22220)(2222VEmdxd0])(2[22222ukVEmdxduikdxud怎么样求解上述方程？1、波函数代表粒子某刻在一空间上出现的几率2、波函数是连续的，其一阶导数也是连续的3、上述方程需要运用x=0和下＝a两个特殊点xkixkieBeAxu)(0)(0)(在区域0＜x＜c，势能V=0xikxikeDeCxu)(0)(0)(在区域-b＜x＜O,势能为V0上述方程组函数需要在x=0和下＝c两个特殊点连续和一阶梯导数连续A0十B0＝C0＋D0bikbikckickieDeCeBeA)(0)(0)(0)(00000)()()()(DikCikBkiAki()()()()0000()()()()ikcikcikbikbikeAikeBikeCikeD四个方程是关于A0、B0、C0和D0的齐次线性方程组，将它们求解便可以得到波函数。但是我们的目的是求出相应的能级。方程组有异于零的解的条件是其系数行列式必须等于零。此行列式化简后，得到kacbcbcoscoscoshsinsinh222222Em2200222)(2mVEVm其中kacbcbcoscoscoshsinsinh222讨论kacbcbcoscoscoshsinsinh222讨论PmabVab2022lim定义12aPbb因为1cos,sinhbbb所以kaaaaPcoscossin能量超越方程化简为(3)V0b保持不变，令V0→∞，b→0kaaaaPcoscossin图解图3-5时式（3—36）的图形能带结构的特点（1）一个在周期场中运动的电子，其许可能级组成能带，两个相邻的能带之间由禁带隔开。（2）．能带的宽度随能量的增加而增加。这是因为下式中的第一项平均说来随P的增加而减小，所以能带的宽度随P的增加而增加。kaaaaPcoscossin能带结构的特点（续）（3）能带的宽度随着粒子对电子束缚程度的增加而减小。当P=0时，对应自由电子模型当P→∞时，必定有0sinaa故得=土nπ，n=1，2，3，…，因此22222manE对应无限深势阱能带结构的特点（续）（4）．对于一个给定的能带，能量E是k的周期函数，周期是。a2电子波矢k和简约波矢的关系2kka2kka2kka2kka能带结构的特点（续）(5)．在每一个能带里，最多只能容纳2N个电子LlNalk22