Biot-Savart定律

1Biot－Savart定律•Biot和Savart通过设计实验研究电流对磁极的作用力•在数学家Laplace的帮助下，得出B-S定律（早于安培）构成的平面B成反比与r成正比与B2rlddIdlrrldId,sin)(413110，、2如何解决无孤立的电流元的困难Idldf关键是找到几何关系把电流分割成许多电流元还和几何因素如有关,r即解决了电流产生磁场的规律3Biot首先重复Oersted实验•实验一：测量长直载流导线对单位磁极的作用力•装置：如图，沿圆盘径向，对称放置一对相同的磁棒。F1F力矩为r若rCrrrCrrr22221111FF每根磁棒两极受合力矩为零，圆盘静止r1F不若2211FFrr总合力矩不为零，圆盘应转实验结果：示零——单位磁极受到的作用rIF4实验二：•设计实验：–磁极所受作用力的方向垂直于折线与磁极构成的平面0F,0最大maxFF,2maxF414.0F,42tan'3022tan414.02tanFrIk折折：结论5电流元对磁极的作用力的表达式•由实验证实电流元对磁极的作用力是横向力•整个电流对磁极的作用是这些电流元对磁极横向力的叠加•由对称性，上述折线实验结果中，折线的一支对磁极的作用力的贡献是F折的一半折kk212tanFrIk6理论分析：B.S.L定律的建立•求A点附近电流元Idl对P点磁极的作用力dF)()FF(FFadldldrrdlddldldd得由，2tanFrIk2cos21F2rIk)(2tanF2brIkrrdldrddlsinsincoscosdldrdrdl2cos2sin27)cos1(2tanF2rIdlkdsin2rIdlkdF表达式与现代的电流元磁感应强度的表达式是一致的2dFrIdkrl矢量式202ˆ4rIdrIdkdrlrlB两电流元之间的安培定律也可表示成12212212112212)ˆ(dBldIrrldIldIkFd产生的磁场电流元11ldI如何引入？对磁极的力8磁感应强度B•电场E定量描述电场分布•磁场B定量描述磁场分布•引入试探电流元22ldI11ldI闭合回路L1上的电流元,)ˆI(12312112212rrldldIkFd112312122102)ˆ(4LrrldldIIFd112312110222)ˆ(4LrrldIldIFd与试探电流元无关，从中扣除试探电流元9B)ˆ(422123121102221ldIrrldIldIFdL112312110)ˆ(4BLrrldIL1L2电流回路L1在点P处产生的总电磁感应强度B对P点电流元的作用力（安培力）PNote:dl的方向要和电流方向一致！10说明•I2dl2在B中的受力取决于dl2B的方向•B的场源可以是任何产生磁场的场源如磁铁•单位：N/A·m；也用特斯拉（T）表示1T=1N/A·m=104Gs(高斯)•B的叠加原理–磁场同样遵从矢量叠加原理–任何一个闭合回路产生的磁场，可看成回路上各个电流元产生的元磁场强度的矢量和11载流回路的磁场•Biot-Savart-Laplace定律的应用)构成的平面B成反比与r成正比与B2rlddIdlrrldId,(sin)(430，、载流直导线的磁场载流圆线圈轴线上的磁场载流螺线管中的磁场亥姆霍兹线圈12载流直导线的磁场•分割，取微元Idl，微元在P点的磁感应强度方向：大小：2030sin4)(4rIdlrrldIdB212120sin4AAAArIdldBB叠加dadlactgl2sin;sinar13•计算)cos(cos4)cos(4sin4210120021aIaIadIBaIB2,,0021无限长aIB42,0021半无限长14载流圆线圈轴线上的磁场•由对称性,只有x分量不为零,即20sin4rIdldBcosdBdBBxx2322202322020)(2)(42cos4xRIRxRRIRrIdlBxxRIBxx2,0015载流螺线管中的磁场•长为L，匝数为N密绕螺线管，可忽略螺距，半径为R。（一匝线圈轴线上的场，可用圆电流结果）在螺线管上距p点处取一小段为（含匝线圈）232220)(2xRndlIRdBRctgl16232220)(2lRdlnIRdBBdnIdRrnIRBsin2)sin(2212102320dRdlRctgl2sin,sin,rRr)cos(cos2120nI0,,21LnIB02,21半无限长0,221或20nIB说明轴线上的B处处相同，可以证明，管内B也均匀17亥姆霍兹线圈•结构：一对间距等于半径的同轴载流圆线圈•用处：在实验室中，当所需磁场不太强时，常用来产生均匀磁场•命题：证明上述线圈在轴线中心附近的磁场最为均匀–将两单匝线圈轴线上磁场叠加–求极值18•求一阶导数2322201)x2(24aRIRB2322202)x2(24aRIRB232223222021)2(1)2(124axRaxRIRBBB2522252220)2(2)2(264axRaxaxRaxIRdxdB19•求二阶导数2722222722222022)2(24)2(2464axRRaxaxRRaxIRdxBd的条件在O点附近磁场最均匀)的处(令0022dxBdx中点22272222200220422264RaaRRaIRdxBdxRa20•原则上，B-S定理加上叠加原理可以求任何载流导线在空间某点的B•实际上，只在电流分布具有一定对称性，能够判断其磁场方向，并可简化为标量积分时，才易于求解；•为完成积分，需要利用几何关系，统一积分变量；•一些重要的结果应牢记备用；•如果对称性有所削弱，求解将困难得多–如圆线圈非轴线上一点的磁场，就需要借助特殊函数才能求解–又如在螺距不可忽略时，螺线管的电流既有环向分量又有轴向分量，若除去密绕条件，就更为复杂。小结：21作业•P772:1-8•hopeyouenjoy