第6章 离散时间系统的时域分析

第6章离散时间系统的时域分析(Chapter6Timedomainanalysisofdiscrete-timesystem)6.3常系数线性差分方程的时域经典法求解6.1离散信号基础6.2离散时间系统与差分方程6.4零输入响应与零状态响应6.5离散线性卷积离散时间系统的优点精度高可靠性好功能灵活时分复用保密性好便于大规模集成离散时间系统：激励与响应都是离散时间信号的系统。6.1离散信号基础6.1.1离散信号概念1.图解表示()xnT)0(x)(Tx)2(Tx)3(Tx)5(TxnTTT2T3T4T50[]xn[0]x[1]x[2]x[3]x[5]xn123450[4]x省略T2.有限序列表示1120[]0.51120nnxnnnn为其它值[]{1,2,0.5,1}xn或：0112n[]xn2115.03.解析式表示[]0xnnn[]xnn[]xnn12345054321[]xnn1234505432112431234（1）单位样值信号(Unitsamplesignal)1(0)[]0(0)nnn6.1.2典型离散信号（序列）-2-10123n[]n1（2）单位阶跃序列(Unitstepsequence)[]un10(0)n(0)n...-2-10123nu[n]1)(tu)1(0tt10)(tdttdut)()(------微分关系dtut)()(------积分关系[][][1]nunun------差分关系0[][][1][2][]munnnnnm------求和关系...-2-10123nu[n]-2-10123n[]n11[]NRn10(01)nN(0,)nnN（3）矩形序列(Rectangularsequence)[][][]NRnununN...-2-1012N-1NnRN[n]1（4）斜变序列(Rampsequence)[][]xnnun（5）单边指数序列(singlesidedexponentialsequence)[][]nxnaun当时序列是发散的，时是收敛的a0序列都取正值a0序列在正、负间摆动1a1a0123n[]nun123思考：a-nu[n]的波形？（6）正弦序列(Sinusoidalsequence)0[]sinxnn式中，是正弦序列包络的频率。000220,2010T6.1.3序列的运算[][][]znxnyn1、序列相加（减）：两序列同序号的数值逐项对应相加（减）[][][]fnxnyn2、序列相乘：两序列同序号的数值逐项对应相乘[][]wnxnm3、序列移位：原序列逐项依次移动m位：0m当时：[]:xnm左移（前移）m位右移（后移）m位[]:xnm右移（后移）m位4、序列反褶：[][]xnxn任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。即：5、序列的分解：(Decompositionofsequence)[][][]mxnxmnm[]3[2][3]2[4][2][2][3][3][4][4]xnnnnxnxnxn例如：[]xnn123401236.2离散时间系统与差分方程(Discrete-timesystemanddifferenceequation)6.2.1线性时不变离散时间系统(Lineartime-invariantdiscrete-timesystem)离散系统x[n]y[n]离散系统x2[n]y2[n]离散系统x1[n]y1[n]1122[][]cxncxn1122[][]cyncyn线性（均匀性和叠加性）离散系统x[n]n系统y[n]n系统时不变性x[n-N]nNy[n-N]nNx[n]x[n]+y[n]y[n](b)加法器离散时间系统的基本单元符号表示：(a)延时器E1x[n]x[n-1]x[n]x[n-1]D(c)数乘器ax[n]ax[n]ax[n]ax[n]ax[n]ax[n]6.2.2差分方程(Differenceequation)[][1][]ynaynxn[][1][]ynaynxn围绕加法器建立差分方程：例6-5：建立下图所示系统的数学模型。x[n]aE1y[n]ay[n-1][1][][]ynaynxn[1][][]ynaynxn围绕加法器建立差分方程：例6-6：建立下图所示系统的数学模型。x[n]aE1y[n]ay[n]y[n+1]差分方程的解法（1）迭代法：（2）时域经典法：在6.3节中介绍。（3）零输入响应与零状态响应解法：在6.4节中介绍。（4）z变换法：在第7章中介绍。例2：如果在第n个月初向银行存款x[n]元，月息为a，每月利息不取出，试用差分方程写出第n个月初的本利和y[n]。设x[n]=10元，a=0.003,y[0]=0,求y[12]=?解：设y[n]为第n个月初的本利和，则y[n-1]为第n-1个月初的本利和。根据题意可列出差分方程：[](1)[1][]ynaynxn[][1][1][]ynynaynxn即：[](1)[1][]ynaynxn用迭代法求解此差分方程[](1)[1][]ynaynxnx[n]=10元，a=0.003,y[0]=0,[1](10.003)[0][1]10yyx元[2](10.003)[1][2]20.03yyx元[3](10.003)[2][3]30.09yyx元[4](10.003)[3][4]40.18yyx元[5](10.003)[4][5]50.30yyx元[6](10.003)[5][6]60.45yyx元[7](10.003)[6][7]70.63yyx元[8](10.003)[7][8]80.84yyx元[9](10.003)[8][9]91.08yyx元[10](10.003)[9][10]101.35yyx元[11](10.003)[10][11]111.65yyx元[12](10.003)[11][12]122yyx元6.3常系数线性差分方程的时域经典法求解(Constant-coefficientlineardifferenceequation)00[][]NMkrkraynkbxnr（1）求齐次解：即0[]0Nkkaynk特征方程为：0...1110NNNNaaaa上式中方程的根称为特征根。依据特征根的特点，差分方程齐次解有两种类型：12,,...,N（b）特征根有重根：若是特征根的K重根111[]KKinhiiynCn例2：求差分方程y[n]+6y[n-1]+12y[n-2]+8y[n-3]=x[n]的齐次解0)2(81263232123[]()(2)nynCnCnC（a）特征根(Characteristicroot)均为单根，则1[]NnhiiiynC(2)求特解(Particularsolution)：1、将激励函数代入差分方程右端→自由项步骤：2、根据自由项形式→确定特解函数3、将特解代入左端→求出待定系数nknC(常数)特解形式自由项B（常数）210121...kkkkCCnCnCnCnnCe()jnAeA为复数01CCnjne()ne为实数an(a不是特征根)nC210121()rrnrrCCnCnCnCnaan(a是r重特征根)sin(cos)nn或12cossinCnCn(3)完全解=齐次解+特解例6-12：求y[n]+2y[n-1]=x[n]-x[n-1]的完全解,其中x[n]=n2,y[-1]=-1(2)y[n]+2y[n-1]=2n-1特解为D1n+D212122[(1)]21DnDDnDn91321232321121DDDDD(1)齐次解为C(-2)n解：21[](2)39nynCn(3)代入初值y[-1]=-1989132)2(11CC821[](2)939nynn例：如果在第n个月初向银行存款x[n]元，月息为a，每月利息不取出，试用差分方程写出第n个月初的本利和y[n]。设x[n]=10元，a=0.003,y[0]=0,求y[12]=?[](1)[1][]ynaynxn解：齐次解为：[](1)nhynCa)1(a特征根为：设特解为D，将D代入原方程：10)1(DaDaD10全解为：10[](1)nynCaa根据初始条件y[0]=0求得：aC1010[][(1)1]nynaa1210[12][(10.003)1]1220.003y元6.4零输入响应与零状态响应解差分方程的方法有：1优点：简单、迭代法缺点：不易得到闭式解2、经典法：自由响应（齐次解）完全响应强迫响应（特解）根据边界条件确定齐次解系数3零输入响应、系统法:完全响应零状态响应6.4.1零输入响应与零状态响应[][][]zizsynynyn[]:ziyn当激励x[n]=0时，由系统的起始状态y[-1],y[-2],y[-N]所产生的响应。它是齐次解的形式，即它是自由响应的一部分。[]:zsyn当起始状态y[-1]=y[-2]==y[-N]=0时，由系统的激励x[n]所产生的响应。它是自由响应的另外部分加上强迫响应。1[][]NnkkpkynCyn强迫响应自由响应11[]NNnnzikkzskkpkkCCyn零输入响应零状态响应()kzikzskCCC例6-14:已知描述系统的一阶差分方程为（1）边界条件，求（2）边界条件，求[],[][];zizsynynyn和11[][1][]23ynynun[1]1y[1]0y[],[][]zizsynynyn和。解:（1）起始时系统处于零状态，所以，[]0ziyn3121DD,32D12[][]()23nzsynynC齐次解为,设特解为D,1()2nC由y[-1]=0可求出,31C所以，112[][]()(0)323nzsynynn（2）先求零状态响应，此即为（1）的结果112[]()(0)323nzsynn再求零输入响应，令1[]()2nziziynC由y[-1]=1可求出12ziC所以，11[]()22nziyn完全响应[][][]11112()()22323112()(0)623zizsnnnynynynn5[0]6y则由原差分方程可迭代出y[-1],即如果在求时给出的边界条件是y[0],则需要用迭代法求出y[-1]。在本例（2）中，若已知[]ziyn11[][1][]23ynynun11[0][1]23yy151[1]2[0]21363yy6.4.2单位样值响应h[n]h[n]的求法：1、迭代法例6-15：已知y[n]-1/3y[n-1]=x[n],试求其单位样值响应h[n]。)()(ttx系统连续系统：()()zsytht[][]xnn系统离散系统：[][]zsynhn对于因果系统，h[-1]=021[0][1][0]011311[1][0][1]3311[2][1][2]()3311[][1][]()33nhhhhhhhnhnn1,01[][]330,0nnnhnunny[n]-1/3y[n-1