3.3.2简单的线性规划问题(1)

551ABCOxy二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示_________________________________________确定区域步骤：__________、____________若C≠0，则_________、_________.直线定界特殊点定域原点定域直线定界直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。二元一次不等式表示的区域及判定方法：知识回顾：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？A配件（个）B配件（个）耗时（h)甲产品乙产品限制414216812一、实际问题设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组2y84x164y12x0y0x＋284300xyxyxy将不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。yx4843ox+2y=8x=4y=3284300xyxyxy提出新问题：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？A配件（个）B配件（个）耗时（h)利润（万元）甲产品41乙产品42限制161282万元3万元yx4843oM设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y把z＝2x＋3y变形为233zyx23它表示斜率为在y轴上的截距为的直线。3z当z变化时，可以得到一族互相平行的直线。2x+3y=0令z=0,作直线2x+3y=0由上图可以看出，当经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，3z143这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。yx4843oM（4,2）(Zmax=2x+3y=2×4+3×2=14)二、基本概念yx4843o把求最大值或求最小值的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。满足线性约束的解（x，y）叫做可行解。在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。可行域可行解最优解使z=2x+y取得最大值的可行解为，且最大值为；课堂练习1.已知二元一次不等式组{x-y≥0x+y-1≤0y≥-1（1）画出不等式组所表示的平面区域；满足的解(x,y)都叫做可行解；z=2x+y叫做；（2）设z=2x+y，则式中变量x,y满足的二元一次不等式组叫做x,y的；y=-1x-y=0x+y=12x+y=0(-1,-1)(2,-1)使z=2x+y取得最小值的可行解，且最小值为；这两个取得最值可行解都叫做问题的。线性约束条件线性目标函数线性约束条件(2,-1)(-1,-1)3-3最优解xy011例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？食物／kg碳水化合物／kg蛋白质/kg脂肪／kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析：将已知数据列成表格三、例题讲解解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么0.1050.1050.0750.070.140.060.140.070.0600xyxyxyxy＋＋目标函数为：z＝28x＋21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域7757146147600xyxyxyxy把目标函数z＝28x＋21y变形为xyo5/75/76/73/73/76/74321zyx它表示斜率为随z变化的一组平行直线系34是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。21zM如图可见，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。M点是两条直线的交点，解方程组6714577yxyx得M点的坐标为：7471yx所以zmin＝28x＋21y＝16由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。解线性规划问题的步骤：（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（3）求：通过解方程组求出最优解；（4）答：作出答案。（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；课堂练习2：设z=2x-y，式中变量x，y满足下列条件求z的最大值和最小值.xyO034yx02553yx1x的截距轴上在表示直线yzxyz2A)2,5(AB)522,1(CC4335251xyxyxmin22122155zmax25212z两个结论：1、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。2、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。课后练习1:已知目标函数z=2x+y，且变量x，y满足下列条件，则（）A、z最大值=12，z最小值=3B、z最大值=12，无最小值C、z最小值=3，无最大值D、z无最大值，也无最小值若可行域是有(1,1)(5,2)(2,5)三点围成的封闭的三角形。目标函数z=ax+y(a0)取得最大值的最优解有无数个，则a=_2._____