概论与数理统计 样本及抽样分布

样本及抽样分布第六章随机样本样本的数字特征分布与密度函数的近似解抽样分布NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编引言数理统计:研究如何合理的获得随机现象的数据资料,建立有效的数学方法,对所考察的问题作出推断或预测.研究方法:部分总体主要内容:统计推断估计理论假设检验参数估计非参数估计NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编第六章随机样本第一节一、总体与个体二、样本与统计量二、样本的联合分布NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编一、总体与个体总体:研究对象(数量指标)的全体.个体:总体中的每个元素.例如,某工厂生产的灯泡的寿命X是一个总体,每个灯泡的寿命是一个个体;全校所有同学的身高和体重(X,Y)是一个二维总体,每个同学的身高和体重是一个个体.NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编12,,,nXXX二、样本与统计量样本:从某一总体Ｘ中随机地、独立地抽取的n个个体统计量:1(,,)nXX不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.称为Ｘ的一个样本容量为n的样本,其对应12,,,nxxx的观测值称为样本值.例如,设总体2~(,),XN其中已知,2未知,则12XX2321iiX是统计量,不是统计量.独立同分布NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编三、样本的联合分布*121(,,,)().nniiFxxxFx*121(,,,)().nniifxxxfx设总体Ｘ的分布函数为F(x),12,,,nXXX是来自总体的一个样本,则的联合分布函数为12,,,nXXX若X的密度函数为f(x),则样本的联合密度函数为*121(,,,)().nniipxxxpx若X的分布列为p(x),则样本的联合分布列为独立同分布NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编第六章总体分布与密度函数的近似解第二节一、总体分布函数的近似解二、总体密度函数的近似解NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编()nFx*1xx1/,n**12xxx一、总体分布函数的近似解—经验分布1.定义:将它***12,nxxx们按由小到大的顺序排列为定义样本的0,经验分布为2/,n**23xxx1,*nxx2.Gilvenko定理:~(),XFx设总体..()()().asnFxFxn一致则注:该定理是用样本来推断总体的基本的理论依据.设是总体X的一样本观测值,12,,,nxxxNORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编二、总体密度函数的近似解—直方图01121,,,,,,;llaaaaaa12,,,,lmmm12,,,;lmmmnnn直方图是频率分布的图形表示,1)分组:2)求频率:设是来自总体X的一样本观测值,12,,,nxxx将它分成l组(各组组距可以不相等)令观测值落在各组的频数分别为则对应频率为其一般做法为:NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编3)作图:以各组为底边,相应组的频率除以组距为高,建立l个小矩形,即得总体的直方图,每一矩形的面积等于相应组的频率.注:由大数定律可知,上的频率收敛到其概率,样本观测值落在区间1,kkaa1(),kkapkamfxdxn即()fxx1mn2mnlmnoy0a1a1kakalakmn所以当n无限增大时,分组组距越来越小,直方图就越接近密度曲线.矩形面积近似曲边梯形面积NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编第六章样本的数字特征第三节一、总体矩二、样本矩NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编1(),mEX2().DX一、总体矩(常数)()kkmEX称(假设存在)为总体X的k阶原点矩,而[()]kkEXEX称为X的k阶中心矩.特别地,二、样本矩(随机变量)12,,,nXXX设是总体X的一样本,11niiXXn称为样本均值,2211()1niiSXXn为样本方差.11nkkiiAXn而称为样本k阶原点矩,11()nkkiiBXXn为样本k阶中心矩.1,XA22.1nSBn特别地,NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编例1.从某班数学期末考试成绩中,随机抽取10名同学的成绩分别为100,85,70,65,90,95,63,50,77,86(1)试写出总体,样本,样本容量,样本值;(3)求样本均值,样本方差及样本二阶中心矩的观测值.(2)写出样本的经验分布函数;解:(1)总体:该班数学期末考试成绩X;样本:1210,,,;XXX样本容量:10;n样本值:100,85,70,65,90,95,63,50,77,86(2)将样本观测值按照从小到大的顺序1210,,,xxx排列为50,63,65,70,77,85,86,90,95,100NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编10()Fx50x1/10,5063x0,2/10,6365x1,100x则样本的经验分布函数为50,63,65,70,77,85,86,90,95,100(3)样本均值11niixxn1(5063100)1078.1计算器的使用样本方差2211()1niisxxn221[(28.1)21.9]9252.54样本二阶中心矩2211()niibxxn227.2921[(28.1)]10NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编第六章抽样分布第四节一、抽样分布二、分位数NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编一、常用样本的分布(抽样分布)1.正态分布:1)定义:2)性质:3)结论:2()221()2xfxexR①2(,)N12,,nXXX设是来自总体的一个样本,11niiXXn为样本均值,2~(,),XNn则oxy()fx从而可得统XUn~(0,1);N计量(略)NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编122212()()XYUmn~(0,1)N②211(,)N和222(,)N的两个样本,且总体X,Y相互独立,则其中11,miiXXm11.njjYYn设和12,,,nYYY分别为来自正态总体12,,,mXXXNORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编2χ2.分布:1)定义:12,,,nXXX(0,1),N设相互独立且均服从2221nXX则称统计量2服从自由度为n的分布,22~().n记作2()2;Dn2221212~().nn2)性质:22~(),n若①2(),En则②2221,相互独立,且则有设2211~(),n2222~(),n2()fxoxy(可加性)(自证)NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编22211()niiX3)结论:①2(,)N12,,,nXXX设是来自总体的一个样本,则统计量2~();n②2(,)N12,,,nXXX设是来自总体的一个样本,2~(1).n2SX则样本均值与样本方差相互独立,且统计量22221(1)1()niinSXXNORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编2~(),YnTXYn~().Ttn3.t分布:1)定义:~(0,1),XN设且X与Y相互独立,则称统计量服从自由度为n的t分布,记作oxy()tfx2)性质:①②()tfx关于y轴对称;n当时,(0,1).Nt分布XTnS3)结论:①2(,)N12,,,nXXX设是来自总体的一个样本,则统计量~(1);tn~(0,1)XUnN威廉·戈塞NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编②12,,mXXX12,,,nYYY设和分别为来自正态总体12(,)N和22(,)N的两个样本,且总体X,Y相互独立,则其中~(2)tmn22111(),1miiSXXm22211().1njjSYYn1222()()wwXYTSmSn22212(1)(1)2wmSnSSmn称为复合样本方差,而122212()()~(0,1)XYUNmnNORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编2~(),YnXmFYn4.F分布:1)定义:2~(),Xm设且X,Y相互独立,则称统计量服从第一自由度为m,为n的F分布,第二自由度~(,).FFmn记作()Ffxoxy2)性质:①②~(,),FFmn若1~(,);FnmF则~(),Ttn若2~(1,).TFn则[提示:]22~(0,1)~(1)XNXNORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编22122212SSF~(1,1)Fmn3)结论:211(,)N和222(,)N的两个样本,且总体X,Y相互独立,则设和12,,,nYYY分别为来自正态总体12,,,mXXX①②22122212SSF~(,)Fmn其中221111(),miiSXm222211().njjSYn统计量(自证)NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编u1u(),PXxFx{}()uPUuxdx1uu二、分位数2.定义:~(),XFx设(0,1)为一常数,若对于某一x实数满足则称x为X的下侧分位数.3.常用分布的分位数:(0,1)N1)的下侧分位数u满足:由对称性oxy()x1.引例:~(0,1),XN设{}0.8,PXx且有则?x{}0.2PXx当时,x的值又是多少?(查附表3)NORTHUNIVERSITYOFCHINA上一页下一页返回结束目录第六章样本及抽样分布《概率统计》电子教案薛震编(,)Fmn1(,)Fmn2()n1()tn()tn21()n2()n2)的下侧分位数2()n满足:()tn3)的下侧分位数()tn满足:(,)Fmn4)的下侧分位数(,)Fmn满足:22{()}Pn