力学量的表示和表象变换

第第第三三三章章章力力力学学学量量量的的的表表表示示示和和和表表表象象象变变变换换换前面我们已经提到了在量子力学中力学量应该用算符表示，这就是所谓的量子化(一次量子化)，如在坐标空间中，动量算符ˆ⃗p=−i~⃗∇x，动能算符ˆT=−~22m∇2，位置算符ˆ⃗x=⃗x等，在动量空间中，ˆ⃗x=i~⃗∇p，ˆ⃗p=⃗p，ˆT=p22m等。这里我们要强调的是量子力学中的算符必须与波函数相结合才有真实意义。它包含了几个信息：1)算符表示了一种操作(operator)(运算)，必须有操作对象，这个对象就是波函数，否则就无物理意义；2)选取不同的波函数表示(表象)，算符的表现形式是不同的，如坐标、动量表象；3)不同表象的物理实质是一样的，即力学量算符(可测量量)的平均值不变。3.1算算算符符符及及及其其其运运运算算算规规规则则则1.Hilbert空空空间间间及及及其其其算算算符符符所谓Hilbert空间，是定义在某个数域上的完备线性内积空间。我们知道波函数ψ是描述微观物理系统的运动状态的，它所遵循的规律决定了我们应该用怎样的函数空间来描述微观系统。波函数的叠加原理说明ψ满足线性叠加原理，因此我们可以用一个线性空间来描述。也就是说，一个系统在一定时刻的一切可以实现的纯态的波函数ψn，来构成复数域上的一个线性空间，每一个纯态对应于线性空间的一个基矢。每一个混合态对应于一个态矢量，即可以表示为基矢的线性叠加ψ=∑ncnψn，其中系数|cn|2是系统处于某个纯态（基矢）的可能几率，这样的线性空间就是Hilbert空间。因此量子力学所表达的是一种统计规律，与力学量ˆA相对应的是它的平均值，或者说是期待值⟨ˆA⟩=⟨ψ|ˆA|ψ⟩⟨ψ|ψ⟩即平均值是ψ与ˆAψ的内积。定义内积为(ψ1,ψ2)=⟨ψ1|ψ2⟩=∫ψ∗1ψ2dτ。我们看到，算符的作用是使波函数ψ变成了另一个波函数ψ′。这也是为什么算符是”operator”。我们以一维无限深势阱作为例子来说明这个概念。我们知道本征方程的解-本征波函数为ψn(x)=√2asinnπxa(n=1,2,...)，这些本征函数就是基矢，它们共同构成的线性空间就是Hilbert空间。所谓线性空间是与态的叠加原理相应的，因为这些本征（波）函数的线性组合也是本征方程的解。从某种程度上，可以与坐标空间作类比。基矢是⃗i(x)，⃗j(y)，⃗k(z)，任何一个矢量总是可以表示为⃗r=a1⃗i+a2⃗j+a3⃗k。只是，这儿的基矢只有三个，而在量子力学中，基矢可能是无限多的的。可见，1)Hilbert空间一般是无限维的，基矢之间必须是正交的，∫ψ∗nψmdx=δmn；2)任何一个矢量(波函数)可以表示为基矢（本征波函数）的线性组合，基矢必须是完备的；3)定义内积(ψ1,ψ2)=⟨ψ1|ψ2⟩=∫ψ∗1ψ2dτ。应当注意到Hilbert空间与坐标空间是不同的。前者是所有可能状态的集合构成的，其基矢是波函数，当然波函数可以用坐标表象来表示，但也可以是动量表象的。1ChapterIIIRepresentations2.算算算符符符的的的运运运算算算规规规则则则我们前面已经讲到了所有力学量都可以用算符表示，我们先讲一些算符的基本运算关系。1)算符之和：两个算符之和定义为(ˆA+ˆB)ψ=ˆAψ+ˆBψ再次注意到算符一定是作用在某个波函数上面，算符的运算满足加法的交换律和结合律ˆA+ˆB=ˆB+ˆAˆA+(ˆB+ˆC)=(ˆA+ˆB)+ˆC2)算符之积：两个算符ˆA和ˆB之积记为ˆAˆB，定义为ˆAˆBψ=ˆA(ˆBψ)一般情况下，算符之积不满足交换律，即ˆAˆB̸=ˆBˆA实际上算符的运算完全可以看成是矩阵的运算，因为后面会讲到算符可以用矩阵表示。当两个算符有共同的本征函数时，它们是可以交换的。我们以具体的例子来进一步说明这个结果。Example:计算两个算符的交换差值：ˆxˆp−ˆpˆx，以及ˆTˆp−ˆpˆT采用坐标表象ψ(x)，这里我们再次强调，一定是选择某个表象，算符一定是作用在波函数上的，尽管这样的一个结果与表象无关。ˆxˆpψ=x(−i~∂∂xψ)=−i~x∂∂xψˆpˆxψ=−i~∂∂x(xψ)=−xi~∂∂xψ−i~ψ→ˆxˆp−ˆpˆx=i~ˆTˆpψ=−~22m∂2∂x2(−i~∂∂xψ)=i~32m∂3∂x3ψˆpˆTψ=−i~∂∂x(−~22m∂2∂x2ψ)=i~32m∂3∂x3ψ→ˆTˆp−ˆpˆT=0采用动量表象φ(p)ˆxˆpφ=i~∂∂p(pφ)=i~φ+i~p∂∂pφˆpˆxφ=p(i~∂∂pψ)=i~p∂∂pφ→ˆxˆp−ˆpˆx=i~ˆTˆpψ=p22m(pφ)=p32mφˆpˆTψ=p(p22mφ)=p32mφ→ˆTˆp−ˆpˆT=02ChapterIIIRepresentations我们可以看到交换律是否成立。另外，它们的差值不随表象而变化。自己证明ˆEˆt−ˆtˆE=i~其中ˆE=i~∂∂t，ˆt=t。3)算符的乘幂：定义算符ˆA的n次幂ˆAn为ˆAn≡ˆA·ˆA...ˆA3.2对对对易易易关关关系系系如果我们定义对易式[A,B]=AB−BA显然，上面结果表明[ˆx,ˆp]=i~，[ˆT,ˆp]=0，[ˆE,ˆt]=i~。如果[ˆA,ˆB]=0，我们说算符ˆA和ˆB是对易的，否则两者就是不对易的。对易式满足下面的重要恒等式：[A,BC]=[A,B]C+B[A,C][AB,C]=A[B,C]+[A,C]B对易关系在量子力学有着非常重要的地位，是量子力学的基本假定，这个我们前面介绍过。需要指出的是对易式的结果与表象的选择无关，但是理解的时候必须选择某个表象，否则算符无意义。从对易关系我们可以严格证明Heisenberg测不准关系。Proof:假定我们有[ˆΩ1,ˆΩ2]̸=0，可以证明(∆Ω1)(∆Ω2)≥12|⟨[ˆΩ1,ˆΩ2]⟩|其中⟨Ω1⟩=∫ψ∗ˆΩ1ψd3x为在某个态ψ中的平均值，∆Ω=√⟨(ˆΩ−⟨Ω⟩)2⟩是力学量Ω对应的算符ˆΩ在态ψ中的均方根偏差。证：令ˆA=(ˆΩ1−⟨Ω1⟩)，ˆB=(ˆΩ2−⟨Ω2⟩)，则(∆Ω1)2=⟨(ˆΩ−⟨Ω⟩)2⟩=⟨ˆA2⟩=∫ψ∗ˆA2ψd3x=∫(ψ∗ˆA)(ˆAψ)d3x=∫(ˆAψ)∗(ˆAψ)d3x≡∥ˆAψ∥2其中∥ˆAψ∥2是态ˆAψ的模长。即(∆Ω1)=∥ˆAψ∥同理，我们有(∆Ω2)=∥ˆBψ∥又[ˆA,ˆB]=[ˆΩ1−⟨Ω1⟩,ˆΩ2−⟨Ω2⟩]=[ˆΩ1,ˆΩ2]所以我们只要能够证明下式即可。(∆Ω1)(∆Ω2)=∥ˆAψ∥∥ˆBψ∥≥12|⟨[ˆΩ1,ˆΩ2]⟩|=12|⟨[ˆA,ˆB]⟩|3ChapterIIIRepresentations即∥ˆAψ∥·∥ˆBψ∥≥12|⟨[ˆA,ˆB]⟩|由Cauchy-Schwarz不等式可知|(ψ,φ)|≤∥ψ∥·∥φ∥可见∥ˆAψ∥·∥ˆBψ∥≥|(ˆAψ,ˆBψ)|=|∫(ˆAψ)∗(ˆBψ)d3x|=|∫ψ∗ˆAˆBψd3x|因为ˆAˆB=12(ˆAˆB+ˆBˆA)+12(ˆAˆB−ˆBˆA)=12[ˆA,ˆB]++12[ˆA,ˆB]其中[ˆA,ˆB]+≡ˆAˆB+ˆBˆA是两个算符的反对易关系，显然有下面的关系满足([ˆA,ˆB]+)+=(ˆAˆB+ˆBˆA)+=ˆB+ˆA++ˆA+ˆB+=ˆAˆB+ˆBˆA=[ˆA,ˆB]+([ˆA,ˆB])+=(ˆAˆB−ˆBˆA)+=ˆB+ˆA+−ˆA+ˆB+=ˆBˆA−ˆAˆB=−[ˆA,ˆB]即[ˆA,ˆB]+是厄米不变的，而[ˆA,ˆB]是厄米反号的，得到(∆Ω1)(∆Ω2)≥|∫ψ∗(12[ˆA,ˆB]++12[ˆA,ˆB])ψd3x|取右边包含反对易关系的第一项为实的(原因是上面说到的厄米不变)，包含对易关系的第二项为纯虚的(厄米反号)，而因为对于任意实数，有|a+ib|=√|a|2+|b|2所以得到(∆Ω1)(∆Ω2)≥|∫ψ∗(12[ˆA,ˆB]++12[ˆA,ˆB])ψd3x|=12{|∫ψ∗[ˆA,ˆB]+ψd3x|2+|∫ψ∗[ˆA,ˆB]ψd3x|2}1/2≥12|∫ψ∗[ˆA,ˆB]ψd3x|=12|∫ψ∗[ˆΩ1,ˆΩ2]ψd3x|即(∆Ω1)(∆Ω2)≥12|⟨[ˆΩ1,ˆΩ2]⟩|这个结果表明，只要两个算符不对易，在任何态中都不可能同时测得它们的准确值，本质原因是两者没有共同的本征态。它们的量子涨落(测得值的均方根偏差)应当满足上述不等式。这就是广广广义义义的的的测测测不不不准准准原原原理理理。具体到我们前面讲到的Heisenberg测不准关系，则有(∆x)(∆p)≥12|⟨[ˆx,ˆp]⟩|=~2(∆E)(∆t)≥12|⟨[ˆE,ˆt]⟩|=~24ChapterIIIRepresentations3.3升升升降降降算算算符符符{一一一维维维谐谐谐振振振子子子的的的代代代数数数解解解一维谐振子的本本本征征征方方方程程程:ˆHψ=EψˆH=ˆp22m+12mω2ˆx2=~ω2[(√1m~ωˆp)2+(√mω~ˆx)2]=~ω2[−(√1m~ω~ddx)2+(√mω~ˆx)2]ξ=√mω~x=αxα=√mω~ddx=ddξdξdx=√mω~ddξ=αddξˆH=~ω2[−(√1m~ω~√mω~ddξ)2+ξ2]=~ω2[ξ2−d2dξ2]定义升升升降降降算算算符符符ˆA=1√2(√mω~ˆx+i√1m~ωˆp)=1√2(ξ+ddξ)ˆA+=1√2(√mω~ˆx−i√1m~ωˆp)=1√2(ξ−ddξ)ξ=1√2(ˆA+ˆA+)ddξ=1√2(ˆA−ˆA+)H=~ω4[(ˆA+ˆA+)2−(ˆA−ˆA+)2]=~ω2(ˆAˆA++ˆA+ˆA)现在我们证明量量量子子子条条条件件件[ˆA,ˆA+]=1[ˆA,ˆA+]=12[√mω~ˆx+i√1m~ωˆp,√mω~ˆx−i√1m~ωˆp]=12[√mω~ˆx,−i√1m~ωˆp]+12[i√1m~ωˆp,√mω~ˆx]=−i2√mω~√1m~ω([ˆx,ˆp]−[ˆp,ˆx])=−i2√mω~√1m~ω2i~≡1即ˆAˆA+−ˆA+ˆA=1ˆAˆA+=ˆA+ˆA+1ˆH=~ω2(2ˆA+ˆA+1)=~ωˆA+ˆA+~ω2定义ˆN=ˆA+ˆA则ˆN+=(ˆA+ˆA)+=ˆA+ˆA=ˆN又⟨ˆN⟩=(ψ,ˆNψ)=(ψ,ˆA+ˆAψ)=(ˆAψ,ˆAψ)≥0所以ˆN是正定厄米算符，实际上是粒子数算符。5ChapterIIIRepresentations假定算符ˆN的本征方程为：ˆN|ψn⟩=n|ψn⟩。又[ˆN,ˆA]=[ˆA+ˆA,ˆA]=−ˆA，则[ˆN,ˆA]|ψn⟩=ˆNˆA|ψn⟩−ˆAˆN|ψn⟩=ˆNˆA|ψn⟩−nˆA|ψn⟩=−ˆA|ψn⟩.也就是说：ˆNˆA|ψn⟩=(n−1)ˆA|ψn⟩，即ˆA|ψn⟩也是ˆN的本征态，对应的本征值为(n−1)。可见，从ˆN的某个本征态|ψn⟩出发，逐次应用，可得到的一系列本征态|ψn⟩,ˆA|ψn⟩,ˆA2|ψn⟩,...，相应的ˆN的本征值分别为n,n−1,n−2,...。所以称ˆA为降算符。同样的道理，可以证明ˆNˆA+|ψn⟩=(n+1)ˆA|ψn⟩，即ˆA+也是ˆA的本征态，相应的本征值为(n+1，所以称ˆA+为升算符。基基基态态态能能能量量量和和和本本本征征征波波波函函函数数数：：：由于⟨ˆA+ˆA⟩≥0，可见基态–最小能量E0=~ω2这里我们再次看到基态能量不为零，静止的粒子是不存在的，存在零点能量。这一点从不确定关系可以看出∆x∆p≥~2∆x≥~2∆p∆E=(∆p)22m+12mω2(∆x)2=(∆p)22m+12mω2~241(∆p)2=12m[(∆p−m~ω21∆p)2+m~ω]≥12~ω基态波函数ψ(ξ)：基态，这意味着ˆAψ0(ξ)=0=1√2(ξ+ddξ)ψ0(ξ)dψ0(ξ)dξ=−ξψ0(ξ)=⇒dψ0(ξ)ψ0(ξ)=−ξdξψ0(ξ)=C0e−ξ2/2由归一化条件，注意：是x的积分，不是ξ的积分，两者不同(∫e−x2dx=√π)：∫ψ∗0(x)ψ0(x)d