§1.1 消元法及其矩阵表示

§1.1消元法及其矩阵表示一、消元法解线性方程组二、矩阵表示方程组求解形如的方程称为含有n个未知量的线性方程.bxaxaxann2211其中为实数,称为未知量.baaan,,,,21nxxx,,,21一、消元法解线性方程组1.n元线性方程组11112211211222221122,(1.1)nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb其中均为实数,),,2,1;,,2,1(,njmibaiijnxxx,,,21为n个未知量.aij称为方程组的系数,bi称为方程组的常数项.(1.1)称为含有m个方程,n个未知量的线性方程组.或简称为mn线性方程组.一、消元法解线性方程组1.n元线性方程组)1.1(,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa若所有的bi=0(i=1,2,,m),则(1.1)称为齐次线性方程组.若bi(i=1,2,,m)不全为0,则称之为非齐次线性方程组.若存在n个数c1,c2,,cn,当x1=c1,x2=c2,,xn=cn时,可使n元线性方程组(1.1)的m个等式都成立,则称x1=c1,x2=c2,,xn=cn为方程组(1.1)的一个解.方程组的全部解所组成的集合称为方程组的解集.如果方程组至少存在一个解,称之为相容的;否则称之为不相容的.若两个线性方程组的解集相同,称它们是同解方程组或等价方程组.2.消元法解线性方程组例1解三元线性方程组)2.1(,426221283321321321xxxxxxxxx记号说明:①②③1)交换两个方程次序(比如交换①、②),记为①②.2)用一个非零的常数乘以某个方程(比如数k乘以①),记为①k.3)用一个数乘一个方程后加到另一个方程上(比如数k乘以①加到②),记为②+k①.2.消元法解线性方程组例1解三元线性方程组)2.1(,426221283321321321xxxxxxxxx①②③解(1.2)①②,426128322321321321xxxxxxxxx②3①③①,24622223232321xxxxxxx(1.3)(1.4)③2②,10562222332321xxxxxx(1.5)②③2151,2322332321xxxxxx(1.6)②+③,212232321xxxxx(1.7)①2②①③,212321xxx(1.8)即方程组的解为x1=2,x2=1,x3=2.以上求解过程,从(1.2)到(1.5)的过程叫做消元过程;从(1.6)到(1.8)叫做回代过程.)5.1(,10562222332321xxxxxx像一个阶梯,称为行阶梯形线性方程组.用消元法解方程组时,始终把方程组看作一个整体变形,且只用到三种变换:1)交换两个方程次序;2)用一个非零的常数乘以某个方程.3)用一个数乘一个方程后加到另一个方程上.事实上这三种变换都是可逆的．变换前的方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种变换是同解变换．线性方程组的初等变换:1)交换两个方程次序.2)用一个非零的常数乘以某个方程.3)用一个数乘一个方程后加到另一个方程上.(也叫做同解变换)经初等变换后得到的方程组与原方程组是同解方程组.用初等变换化简方程组的过程中,仅仅只对方程组的系数和常数项进行运算,未知量并未参与运算．可以将求解方程组(1.2)的过程可以用下列数表表示：4261212112183①②4261121832121②3①③①214062202121③2②1050062202121②③2151210031102121②+③210010102121①2②①③210010102001这些数表分别对应方程组(1.2)——(1.8).引入数表后使得整个化简方程组的过程简单明了．二、矩阵表示方程组求解1.矩阵的定义定义1.1由mn个数aij(i=1,2,,m;j=1,2,,n)排成的m行n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为m行n列矩阵,简称mn矩阵.mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211记作数aij称为矩阵A的元素,(第一个下标i称为行标,第二个下标j称为列标.)或(i,j)元.以数aij为元素的矩阵A可简记为：A=(aij)mn,或A=(aij),或Amn.元素是实数的矩阵称为实矩阵.否则称为复矩阵.主对角线记k=min{m,n},称元a11,a22,…,akk构成A的(主)对角线,并称aii为A的第i个对角线元.例如34695301是一个24实矩阵,2222222613i是一个33复矩阵,9532是一个14矩阵,421是一个31矩阵.方程组(1.2)左端的系数排成的数表261121183称为方程组(1.2)的系数矩阵.系数矩阵的右侧添上右端常数项所成的数表4261212112183称为方程组(1.2)的增广矩阵.4261212112183mn线性方程组(1.1)的系数矩阵mnmmnnaaaaaaaaa212222111211是mn矩阵.其增广矩阵nmnmmnnbbbaaaaaaaaa21212222111211是m(n+1)矩阵.行阶梯形线性方程组(1.5)对应的矩阵为1050062202121其有如下特点：1)可划出一条阶梯线,线的下方元素全为零；2)每个台阶只有一行,阶梯竖线后面的第一个元素不为0.这样的矩阵称之为行阶梯形矩阵.方程组(1.8)对应的矩阵为210010102001这是行阶梯形矩阵.但还满足条件：1)每个非零行的首个元素为1;2)这些元所在的列的其它元素都为0.这样的矩阵称为行最简形矩阵.2.矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)交换矩阵的两行.(2)以一个非零实数k乘以矩阵的某一行.(3)将矩阵的某一行乘以一个常数k加到另一行.(交换第i,j两行,记作rirj).(第i行乘以数k0,记作rik).kri1或(第j行的k倍加到第i行,记作ri+krj).解方程组的步骤：用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵,再化为行最简形矩阵,然后再写出方程组的解.例1.2求解线性方程组)9.1(.97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解对(1.9)的增广矩阵作初等行变换.979634226441211211122321rrr9796321132211124121114133232rrrrrr3433063550022204121124232352rrrrr310006200001110412113432rrr000003100001110412113221rrrr00000310003011040101故同解方程组为,33443231xxxxx,33443231xxxxx即记x3=c,则方程组的解为,3344321xcxcxcx(其中c为任意常数).例3求解线性方程组.32222353132432143214321xxxxxxxxxxxx解对方程组的增广矩阵作初等行变换.322122351311321131223rrrr10450104501132110000104501132123rr同解方程组的最后一个方程为0=1,显然不成立,故原方程组无解.*补充内容矩阵在解决逻辑判断问题中的应用某些逻辑判断问题,条件往往给的很多,看上去错综复杂,若借助矩阵,则有助于我们清理所给条件的头绪,再进行推理,就可能达到化简问题的目的.例甲、乙、丙、丁、戊五人各从图书馆借来一本小说,约定读完后互换,这五本书厚度及他们阅读速度差不多,故五人总是同时交换书,经四次交换后,五人均读完了这五本书,现已知:(1)甲最后读的书是乙读的第二本书;(2)丙最后读的书是乙读的第四本书;(3)丙读的第二本书是甲最先读的书;(4)丁最后读的书是丙读的第三本书;(5)乙读的第四本书是戊读的第三本书;(6)丁第三次读的书是丙一开始读的那本书.试根据以上条件说出丁第2次读的书是谁最先读的书?设五人最后读的书代号依次为:A、B、C、D、E则可设计一个初始矩阵:EDCBA54321戊丁丙乙甲依题意分析可得矩阵的各元素.AC??DEDCBA经分析最后可得矩阵:EDCBAAEBCDCADEBDBEACBCADE54321戊丁丙乙甲故丁第2次读的书是戊一开始读的书.