§1.2 标量场及其梯度-

物理场及其分析物理场的定义与表示：–几何表示：等值面、矢量线–代数表示：基于坐标系的函数表示形式场的研究角度：–几何方法与代数方法–微分方法与积分方法–基于算子的简洁表示1、标量场定义及图示对于区域V内的任意一点r，若有某种物理量的一个确定的数值或标量函数ƒ(r)与之对应，我们就称这个标量函数ƒ(r)是定义于V内的标量场。orf(r)V标量场有两种：与时间无关的恒稳标量场，用ƒ(r)表示；与时间有关的时变标量场，用ƒ(r,t)表示。§1.2标量场及其梯度等值线形象描绘场分布的工具--场线标量场--等值线(面)。constzyxf),,(其方程为2、梯度点位移导致ƒ的改变(x,y,z)(x+dx,y+dy,z+dz)ƒ+dƒƒdlyzxo线元矢量：(1)梯度的导出右图中，由点到邻近的点的微分位移将导致场函数有一微分增量),,(zyx)d,d,d(zzyyxxfdldzyxzyxeeelddddzzfyyfxxffddddleeed)(dzyxzfyfxffgrad()xyzfffffxyzeeelddff因此)dd(d)(dzyxzyxzyxzfyfxffeeeeee标量场的相应微增量则为：fd标量场在点的梯度(gradient)定义为：),,(zyxf),,(zyx(2)方向导数与梯度的关系偏导数、、分别叫做ƒ在x、y、z方向上的方向导数，用梯度表示为xfyfzfzzyyxxffzfffyfffxfeee)()()(推广到ƒ(x,y,z)在某点沿任意矢量l方向的方向导数，则应表为llfflfe)(式中，el是l的单位矢量。（3）梯度的物理意义•标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标的函数；•梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.•梯度的大小为该点标量函数f的最大变化率，即该点最大方向导数；例1电位场的梯度•与过该点的等位线垂直；•指向电位减少的方向。•数值等于该点的最大方向导数；电位场的梯度（4）哈密顿算子（读作del或nabla）直角坐标系中的具体形式为zyxzyxeee使用算符时注意几点：•单独存在没有任何意义；•算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必须视为矢量，并令它具有矢量的一般特性，即，。•在不同坐标系中，算符有不同的表达形式。20（5）梯度的基本运算公式0c（c为常数）fccf)(gfgf)(gffggf)(2)(ggffggfuufuf)()(（6）梯度运算的几个基本关系式•相对坐标标量函数f(rr)ff证明：在直角坐标系中f(rr)=f(xx，yy，zz))(zyxzyxzfyfxfzfyfxfeeeeeezfzfyfyfxfxf,,令xx=X，yy=Y，zz=Z，应用复合函数求导法则可得;X)(XXXfxxxfxfxfX)(XXXfxxxfxfxf即有xfxf上式重写为等式若成立，则应有同理可得zfzfyfyf,证毕。ff•相对位置矢量R=rr的模R=rrRRReR231RRRReR在直角坐标中zyxzzyyxxeeeR)()()(•222)()()(zzyyxxRRxxRxxzzyyxxxxRzzyyxx)()(221)()()(2222)(2)(2)(21则同理有于是,RyyyR)(RzzzR)(RzyxzyxRzzyyxxRzRyRxRReReeeeee])()()[(1根据算符的微分特性可得222111RRRRRRReR（R0）231RRRReR例2求f=4e2xy+z在点P1（1，1，1）处的由该点指向P2（3，5，6）方向上的方向导数。)eee(24e)(24e)(e4)(4e2222zyxzx-yzx-yzx-yzx-yzyxf)4(2)(24e1121zyxzyx--Pfeeeeee974481744]744)[(1)(6)1(5)13(1/2222121212zyxzyxzyxReeeeeeeeeRe解：于是，f在P1处沿R12方向上的方向导数为：920714)1()4(2949744)(24121211zyxzyxPPfRfeeeeeee例3应用标量场的梯度与该标量场的等值面处处正交的概念，求两曲面x2+y2+z2=9和x2+y2=z+3在P(2,-1,2)处相交的锐角。S1S2f1(2,-1,2)f2(2,-1,2)解：将这两个曲面分别看作是两个标量场的等值面，对应的两个标量场函数为：f1=x2+y2+z2f2=x2+y2-z求P点处的梯度Pzyxxzyxfeeeeee424222pzyp1zyxxyxfeeeeee124122pzyp26364242221f211242222fcos2121ffffcos2121ffff2138216441621624424cos12121zyxzyxffffeeeeee2138cos1-