(l组合数学)母函数

ACM程序设计2020/1/242母函数及其应用（Generationfunction）2020/1/243从递推关系说起2020/1/244研究以下多项式乘法：可以看出：x2项的系数a1a2+a1a3+...+an-1an中所有的项包括n个元素a1，a2，…an中取两个组合的全体；同理：x3项系数包含了从n个元素a1，a2，…an中取3个元素组合的全体；以此类推。(8－1)2020/1/245若令a1=a2=…=an=1，在（8-1）式中a1a2+a1a3+...+an-1an项系数中每一个组合有1个贡献，其他各项以此类推。故有：（8－2）特例：2020/1/246母函数定义：对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数2020/1/247Forexample:(1+x)n是序列C(n,0),C(n,1),...,C(n,n)的母函数。如若已知序列a0，a1，a2，…则对应的母函数G(x)便可根据定义给出。反之，如若已经求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。序列a0，a1，a2，…可记为{an}。2020/1/248实例分析2020/1/249例1：若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。如果用x的指数表示称出的重量，则：1个1克的砝码可以用函数1+x表示，1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，2020/1/2410几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。例如右端有2x5项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。故称出6克的方案有2，称出10克的方案有12020/1/2411例2：求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数——因邮票允许重复，故母函数为：2020/1/2412概念：整数拆分所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。2020/1/2413如何编写程序实现母函数的应用呢？核心问题——关键：对多项式展开2020/1/2414以整数拆分为例：观察以下的母函数：…首先思考：如果让你手工计算，你是怎样处理的？实际编程：让计算机按照自己的思路计算即可～#includeiostreamusingnamespacestd;constintlmax=10000;intc1[lmax+1],c2[lmax+1];intmain(){intn,i,j,k;while(cinn){for(i=0;i=n;i++){c1[i]=1;c2[i]=0;}for(i=2;i=n;i++){for(j=0;j=n;j++)for(k=0;k+j=n;k+=i){c2[j+k]+=c1[j];}for(j=0;j=n;j++){c1[j]=c2[j];c2[j]=0;}}coutc1[n]endl;}return0;}2020/1/2416主打例题：HDOJ_1398SquareCoinsSampleInput210300SampleOutput14272020/1/2417算法分析：典型的利用母函数可解的题目。G(x)=(1+x+x2+x3+x4+…)(1+x4+x8+x12+…)(1+x9+x18+x27+…)…2020/1/2418//HDOJ_1398SquareCoins#includeiostreamusingnamespacestd;constintlmax=300;intc1[lmax+1],c2[lmax+1];intmain(){intn,i,j,k;while(cinn&&n!=0){for(i=0;i=n;i++){c1[i]=1;c2[i]=0;}for(i=2;i=17;i++){for(j=0;j=n;j++)for(k=0;k+j=n;k+=i*i){c2[j+k]+=c1[j];}for(j=0;j=n;j++){c1[j]=c2[j];c2[j]=0;}}coutc1[n]endl;}return0;}2020/1/2419//HDOJ_1398SquareCoins//变化一点点，灵活多多多…intmain(){intn,i,j,k;intelem[17]={1,4,9,16,25,36,…,169,196,225,256,289}while(cinn&&n!=0){for(i=0;i=n;i++){c1[i]=1;c2[i]=0;}for(i=2;i=17;i++){for(j=0;j=n;j++)for(k=0;k+j=n;k+=elem[i-1]){c2[j+k]+=c1[j];}for(j=0;j=n;j++){c1[j]=c2[j];c2[j]=0;}}coutc1[n]endl;}return0;}2020/1/2420思考（1）：HDOJ_1028IgnatiusandthePrincessIII2020/1/2421思考（2）：HDOJ_1085HoldingBin-LadenCaptive!2020/1/2422思考（3）：HDOJ_1171BigEventinHDU2020/1/2423思考（4）：HDOJ_1709TheBalance做难事必有所得！！！2020/1/2425_母函数Hdu1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152其它相关题目（比如求邮票、硬币之类的组合数、整数的不同拆分数等）2020/1/2426ThankYou~