平面应力问题

平面应力问题平面域A内的基本方程:平衡微分方程（在A内）几何方程（在A内）物理方程（在A内）即:S上边界条件:应力边界条件在上）位移边界条件（在上）平面应变问题常体力时方程的解为特解叠加下面方程的通解0,0.yxxyxyσXxyσYyx,,.xyxyuvvuxyxy11(),(),2(1).xxyyyxxyxyσσσσEEE22()1()(a)12(1)xxyyyxxyxyEσεμεμEσεμεμEτγμ2101011002(10,2.18)xxyyxyxyσEσσDP式(),().xyxsxyxysylσmfmσlfσs(),().ssuuvvus2222yxyxyxxy.1,12EE0,0.yxxyxyσxyσyx22,yΦσYyx.2yxΦτxy22,xΦσXxy二、基本假设1、连续性假定假定物体是连续的。因此，各物理量可用连续函数表示。2、完全弹性假定a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。b.线性弹性—应力与应变成正比。即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。3、均匀性假定假定物体由同种材料组成,因此，E、μ等与位置无关。4、各向同性假定假定物体各向同性。E、μ与方向无关。由3、4知E、μ等为常数符合1-4假定的称为理想弹性体。5、小变形假定假定位移和形变为很小。a.位移＜＜物体尺寸，例：梁的挠度v＜＜梁高h。例：梁的≤10－3＜＜1,＜＜1弧度。小变形假定的应用：a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。b.简化几何方程：在几何方程中，由于可略去等项,使几何方程成为线性方程。弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:理想弹性体的小变形问题。第二节有限元方法概述1分析思路是：将整个结构看作是由有限个力学小单元相互连接而形成的集合体，每个单元的力学特性组合在一起便可提供整体结构的力学特性。2离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但要满足变形协调条件，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。3弹性力学的基本概念①体力：分布在物体体积内的力，如常见的重力、惯性力②、面力是指分布在物体表面的力，如流体的压力和接触力。P5,6例题1：试分析AB薄层中的应力状态因表面无任何面力，故表面上，有：在近表面很薄一层内故接近平面应力问题,),(),(),(322),(0,0yxff即：.0,,zyzxzσ.0,,zyzxzσ例2由,两边对x积分，由,两边对y积分代入第三式分开变量，因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当x（y）变化时，式(b)的左，右均应=常数，由此解出。可得物理意义：－－表示x，y向的刚体平移，－－表示物体绕原点的刚体转动。例3列出边界条件：例4列出边界条件：显然，边界条件要求在上，也成抛物线分布。3、混合边界条件：⑴部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；⑵同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。例4列出的边界条件：0xyyx0xxu).(0),(1yfyxu0yyv).(0),(2xfyxv12d()d()().(b)ddfyfxyx,.(c)oouuyvvx21,ff00,vulh/2h/2qyxo0()0()0.x0x0x,u,v边界()0,()0.xxlxyxlxl,στ边界()()0.yhyxhyy22xhy,σq,τ2l边界1()0,().yhyxhyy22hy,στq2边界yxoqqqqbbaab()0,()0.yyyxybybστ边界：2()(),()0.xxaxyxaxayσqτb边界：axxσax例5考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用，。试用位移法求解。解：为了简化，设位移按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。代入式(b),将几何方程、物理方程代入平衡微分方程，按位移求解平面应力问题的微分方程为(b)位移边界条件（c）用位移表示的应力边界条件（d）yxoa.0)(,0)(,axxyaxuaxgffyx,0xoyloyx2222()(),11()(),(a)11().2(1)2(1)xxyyyxxyxyEEuvσεμεμμμxyEEvuσεμεμμμyxEEvuτγμμxy22222222222211()012211()0122EuμuμvXμxyxyEvμvμuYμyxxy.)(,)(vvuuss221(1)21(1)2SSEuvuvlmXxyyxEvuuvmlYyxyx第一式自然满足，第二式成为解出均属于位移边界条件，代入得得例6三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在D点共点（连续），变形后三连杆在点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调条件。因此在常体力情况下，按应力求解平面问题可归纳为求解一个应函数，在区域内满足相容性方程，在边界上满足应力边界条件，在多连体中还应该满足位移单值条件。由相容性方程求解出应力函数，然求解出应力分量，再由物理方程和几何方程即可求解应变分量和位移分量。例7试列出图中的边界条件221(1)21(1)2SSEuvuvlmXxyyxEvuuvmlYyxyx.2222Egdyvdyv.22BAyyEgvly,0v0()0,yv0;B()0,ylv.2gAlE②③①FD解:(a)在主要边界应精确满足下列边界条件：在小边界x=0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚时在小边界x=l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，3个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。(b)在主要边界x=0,b，应精确满足下列边界条件：(b)在小边界y=0，列出3个积分的边界条件，当板厚时，注意在列力矩的条件时两边均是对原点o的力矩来计算的。对于y=h的小边界可以不必校核例8厚度悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是试检查此组位移是否是图示问题的解答2/hy.,0,2/;0,)(,2/12qhylxqhyxyyxyy1。sxhhxyxhhxxhhxFyMyyFyd)(,d)(,d)(02/2/02/2/02/2/。qσlxgyσxxyxxyx,0;0,01。2d)(,43d)(,23d)(000000FxbFxxFxybyxybyyby1。EIFlEIFxlEIFxEIFxyvyIGFhEIFlIGFyEIFyEIyFxu3262,)82(662323222332解：此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件:(1)区域内用位移表示的平衡微分方程(2)应力边界条件，在所有受面力的边界上。其中在小边界上可以应用圣维南原理，用3个积分的边界条件来代替。(3)位移边界条件。本题在x=l的小边界上，已考虑利用圣维南原理，使3个积分的应力边界条件已经满足。(4)应变协调方程例9试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在解：应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即（a）相容；（b）须满足B=0,2A=C；（c）不相容，只有C=0。例10在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足：（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件（当）。（a）此组应力满足平衡方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F,D=-E.此外，还应满足应力边界条件。（b）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0。为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。。CxycCxyyBxAybDyCByAxyaxyyxxyyxxyyx,0)(;,,)(;,,)(2223.22222yxxyxyyx2222(),,;()(),(),;xyxyxyxyaσAxByσCxDyExFybσAxyσBxyCxyσSS上两式是矛盾的，因此此组应力分量不可能存在。例11若是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程试证明函数都满足重调和方程因而都可以作为应力函数使用。解：上述函数作为应力函数，均能满足相容方程（重调和方程）例12图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，(a)解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足（1）平衡微分方程；（2）相容方程;（3）应力边界条件（在上）。将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足再校核边界条件，在主要边界上再将式（b）表达式代入次要边界条件，),(yxf.02ffyxyfxff)(,,,2240,Φ.04Φ。xChqxyCyCyhqyyxhqxyyx13221333236,2),46(0)(2yxσσσSS21316,0,()0,243;2xyhqhyxChqCh即得312322,,(),282.2yhqhhyqCCqhqC即得12,0,CC2yhy将，代入后满足。12(),CCa将，代入得到应力公式，22333222(32),13(2),(b)223(41)2xyxyqyσxyhyyσqhhqxyhh。334,xyσqh其主矢量为而主矩为其主矢量为其主矢量为0，而主矩为由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（b）是图示问题之解。例13在材料力学中，当矩形截面梁（宽度）受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时，弯曲应力公式为（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出切应力和挤压应力的公式。（提示：注意关系式积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。）（b）当q为常数时，试检验应力分量是否满足相容方程，试在中加上一项对平衡没有影响的函数f(y)，再由相容方程确定f(y),并校核梁的左右边界条件。解：本题引用材料力学的弯应力的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件（在上）。（a）不计体力，将代入平衡微分方程第一式，得:两边对y积分，得再由上下的边界条件将代入平衡微分方程的第二式,/20-/2d0,hxxhσy（）2/20-/2d.20hxxhqhσyy（）223,(41),2xyqlyxlhh/20-/2d.hxyxhyql（）233(64)