《分部积分法》PPT课件

1主讲教师:王升瑞高等数学第二十七讲2分部积分法分部积分法第三章第三节3由上节可知，基础上得到的，积函数是由两个不同类型函数的乘积时，如：xdxxxdxxdxxexdxxxlnarctansin等，换元积分法就不一定有效了。本节中，我们将利用两个函数乘积的微分或导数公式推得另一个求积分的基本方法——分部积分法换元积分法是在复合函数求导公式的是一种应用广泛的积分法则。但是当被4由微分公式dvuvduduv两边同时积分得:vuduvuvdxvuuvxvudduvvuvudd1)v容易求得;容易计算.分部积分公式设函数)()(xvvxuu具有连续导数分部积分法5例1.求解:,xu,sinxddv则,dxduxvsin∴原式xxsinxxdsinCxxxcossindxexPxn)(.xdxxPnsin)(xdxxPncos)(型uvvuvudd6提示:,2xu,cosxddv则原式dxexPxn)(.xdxxPnsin)(xdxxPncos)(型思考:如何求,2xxddu,cosxv原式7dxxex解：原式xxdedxexexxcexexxcxex)1(小结：若被积函数是幂函数)(xPn和正（余）弦函数或指数函数的乘积，可用分部积分法。并设u。这样通过一次分部积分，就可以使幂函数的幂次降低一次。即在dxexPxn)(xdxxPncos)(xdxxPnsin)(中，总令uxPn)(幂函数为例2：求uvvuvudd8xdxxbaxcossin)(解：原式xdxbax2sin21)(cxaxbax2sin82cos)(41xdxaxbax2cos42cos)(41xxdbax22sin)(41xdbax2cos)(41例3求9xdxxPnarcsin)(.dxbaxxPn)ln()(型xdxarcsin解：令dxdvxuarcsinxvxdxdu21原式＝21arcsinxxdxxx2212)1(arcsinxxdxxcxxx21arcsin例4求uvvuvudd10解:令,arccosxudxdv,则,112dxxduxv原式=xxarccosxxxd12xxarccosxxarccosCx21例5.求2212)1(xxd11例6.求.darctanxxx解:xxarctan212xxxd12122xxarctan212xxd)111(212xxarctan212Cxx)arctan(21原式.2arctan2xdx12原式=xxln212Cxxx2241ln21解:.dlnxxx例7.求.2ln2xdxxxxd121213例8：求dxxx)1ln(2解：原式＝3)1ln(31dxx]11)1ln([3133dxxxxx小结：若被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数的乘积，即有xdxxPnarcsin)(dxbaxxPn)ln()(dxxPdvn)()ln(arcsinbaxuxudxxxxx11)1()1ln(3133dxxxxxx)]1(11[)1ln(3123cxxxxx2332131)1ln()1(3114例9.求.dsinxxex解:原式xexsinxxexdcos再令,cosxudxedvx,则,sinxdxduxevxexsinxxexexxdsincos故原式=Cxxex)cos(sin21说明:1。也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.2.有些不定积分经过分部积分后，虽未能求出该积分，但又出现了与所求积分相同的形式，这时可以从等式中象解代数方程那样解出所求的积分来。.sinxedx15解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为u.v反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数16例10.求解:令,tx则,2txttxd2d原式tettd2tet(2Cxex)1(2)teC令（先用换元，后用分部积分）例11求dxx)cos(ln解:令dxdvxu)cos(ln原式dxxxxxx1)]sin(ln[)cos(lndxxxxxx)cos(ln)sin(ln)cos(ln原式cxxx)sin(ln)cos(ln2tedvdtu17说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加C)例43)对含自然数n的积分,通过分部积分建立递推公式.18例11.已知的一个原函数是求解:xxfxd)()(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说明:此题若先求出再求积分反而复杂.xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos219例12.求xxId)ln(sin解:令则texexttdd,tteItdsinttetettdcossinIttet)cos(sinCtteIt)cos(sin21Cxxx)]cos(ln)[sin(ln2120内容小结分部积分公式uvvuvudd1.使用原则:2.使用经验:“反对幂指三”,前u后v3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式v容易求出vdu比udv好求。21思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?xxxdsincosxxxdsincos1,1dsincosdsincosxxxxxx得0=1答:不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.Cxsinln22作业P19112