大学生物理竞赛电磁学(一)

电学部分复习0qFEEqF0一、电场强度的计算（矢量叠加）1.点电荷的电场reˆrqE2042.场强叠加原理（1）点电荷系（2）连续带电体（3）己知各带电体的场强,直接场强矢量叠加iEE3.高斯定理SeqSE0d内QEdE4.电势梯度Eqiiiiirdqrq.rq.000424241连续带电体：）（点电荷系：）（标量叠加）：电势叠加原理点电荷电势：1()(300为电势零点场强积分法：prE.pppd)()(21211221WWqrdEqApp电场力的功二、电势的计算（标量叠加）rerQERrERrˆ4,0,20均匀带电球面012εσE带电平面无限大均匀rE02πελ带电直线无限长均匀几种特殊带电体的电场特殊带电体的电势rq,RrRq,Rr0044均匀带电球面电势三、有导体存在时静电场的分析与计算nˆEE00表内分析问题的依据：1.静电平衡条件2.电荷守恒3.高斯定理SqSD内0dEEDr0四、静电场中的电介质）（qqSES001dEEE0'ncosPPe各项同性EPr）（10五、电容器及电场能量VQCDEEwe21212电场的能量密度2121111CCCCCC并联：串联：dVEdVwWVVee221静电场的能量2211222QWQVCVC电容器的能量例：在xoy面上倒扣着半径为R的半球面上电荷均匀分布，面电荷密度为。A点的坐标为(0,R/2)，B点的坐标为(3R/2,0)，则电势差UAB为————。ABxyoR整AA2102R00323421RRQB06RUBAABQ为整个带电球面的电荷由对称性或从场强积分的角度考虑整ACACABUUU21CRQ042102320642121RdrrQrdERRCA整例：三等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均匀分布等量同号电荷，测得图中P，Q两点（均为相应正三角形的重心）的电势分别为P和Q。若撤去BC棒，则P，Q两点的电势为P=——，'Q=——。ABCPQ解：设AB,BC,CA三棒对P点的电势及AC对Q点的电势皆为1AB,BC棒对Q点的电势皆为213p122QPQP61213121撤去BC棒PPP321PQQQ61212例：半径分别为R1与R2的两同心均匀带电半球面相对放置（如图），两半球面上的电荷密度1与2满足关系1R1=-2R21）试证明小球面所对的圆截面S为一等势面。2）求等势面S上的电势值。sR1R2oE左E右1）均匀带电球面内场强为零，与实际矛盾右左0EE因此场强必定都垂直于截面为等势面上在SldEUS0:2）S上的电势=00214242212111220101212022212)RR(RRRRo例：厚度为b的无限大平板内分布有均匀体电荷密度为（0）的自由电荷，在板外两侧分别充有介电常数为1与2的均匀电介质，如图，求：1）板内外的电场强度。2）A,B两点的电势差。b12llBA解：设E=0的平面MN距左侧面为d1,距右侧面为d2.d1d2据对称性,E垂直MN指向两侧1)求D,ExxDSxSD内内板内：11112222dDSdSDdDSdSD板外：00xDE内内板内：MN方向向右方向向左板外：2222211111dDEdDE缚电荷产生均由相同自由电荷和束21,EE21EE2211ddbdd2121222111bdbd212211bEbE板外：b12llBAd1d2.ABEUABAB）21212020212222bdd12llBAd1d200xDE内内lEdxEdxElEdd200121内内lEdxElEdd2121内212211bEbElExdExdElEdd200121内内xo例：无限大带电导体板两侧面上的电荷面密度为0，现在导体板两侧分别充以介电常数1与2（12）的均匀电介质。求导体两侧电场强度的大小。12充介质后导体两侧电荷重新分布，设自由电荷面密度分别为01和02022011,DD由高斯定理：202222101111DEDE20210121EE虑电荷与束缚电荷一并考对于板外电场，将自由002012210212EE例：在两平行无限大平面内是电荷体密度0的均匀带电空间，如图示有一质量为m，电量为q(0)的点电荷在带电板的边缘自由释放，在只考虑电场力不考虑其它阻力的情况下，该点电荷运动到中心对称面oo的时间是多少？d0ooq0xSxSE2120解：)0(0qxqqEFq受的电场力kxF律相同此式与弹簧振子受力规q以oo为中心，在两平面内做简谐振动mqmkqk002T4TtxE0例：一直流电源与一大平行板电容器相连，其中相对介电常数为r的固态介质的厚度恰为两极板间距的二分之一，两极板都处于水平位置，假设此时图中带电小球P恰好能处于静止状态，现将电容器中的固态介质块抽出，稳定后试求带电小球P在竖直方向上运动的加速度a的方向和大小。P解：P处于平衡状态，则其定带负电由于电容器始终与电源相连，U一定UEFadEεεdεEdEUrrr1111有介质：dUErr11dEU22无介质：dUE221121EErrmgqEP1平衡：初始时受合力向下：抽掉介质后，PqEmgrr121mgrr21qEmgF2gamaFrr21方向向下dEεεUrr11P例：板间距为2d的大平行板电容器水平放置，电容器的右半部分充满相对介电常数为r的固态电介质，左半部分空间的正中位置有一带电小球P，电容器充电后P恰好处于平衡位置，拆去充电电源，将电介质快速抽出，略去静电平衡经历的时间，不计带电小球P对电容器极板电荷分布的影响，则P将经过多长时间与电容器的一个极板相碰。.P拆去电源后，再将介质抽出，过程中总Q不变，但分布变设：小球m,q,极板S,Q,场强E0、E场强变化，P受力变化，关键求EdSdSdEQUQCr222220000dSdEQC220021EEr两式相比qmgEmgqE00qmgEErr21210mgqEF抽出后小球受力2121mgmgmgrrmFa21grgdadtatdr142212.P初始例：一平行板电容器中有两层具有一定导电性的电介质A和B，它们的相对介电常数、电导率和厚度分别为A,A,dA,B,B,dB;且dA+dB=d,d为平板电容器的两块极板之间的距离。现将此电容器接至电压为V的电源上（与介质A接触的极板接电源正极），设极板面积为S,忽略边缘效应，试求稳定时（1）电容器所损耗的功率P；（2）电介质A和B中的电场能量WA和WB；（3）电介质A和B的交界面上的自由电荷面密度自和束缚电荷面密度束。RVP2电容器损耗的功率解：AB+_SdSdRBBAA=1/（2）电介质A和B中的电场能量WA和WB稳定后电介质A和B中的电流密度相等BBAAEEVdEdEBBAABAABABBAABBAddVEddVE解得：222020)(221BAABABAAAAAddSdVSdEW222020221)dd(SdVSdEWBAABBABBBBBVEWe221EJ（3）电介质A和B的交界面上的自由电荷面密度自和束缚电荷面密度束AB+_自qSdDSSDSDDAB自，垂直于上下表面指向下由对称性，自AABBEE00BAABABBABAddVEE)0,（得：代入自SSESEAB）（束自()0束自（)0ABEEBAABBAABddV)1()1(0束）（束自qqsdES01例：球形电容器的两个极为两个同心金属球壳，极间充满均匀各向同性的线性介质，其相对介电常量为r.当电极带电后，其极上的电荷量将因介质漏电而逐渐减少。设介质的电阻率为，t=0时，内外电极上电量分别为±Q0,求电极上电量随时间减少的规律Q(t)以及两极间与球心相距为r的任一点处的传导电流密度j(r,t).dtdQI解：RURCQ121204rrrrCr球形电容器的电容：因电流沿径向流动，总电阻可看成无数多薄球壳的串联211224421rrrrrdrRrrrQdtdQ0drrQdtdQ0treQQ010rdtdQrrrIjˆ41ˆ422reQrjtrrˆ4101020一、点电荷系的相互作用能（电势能）两个点电荷：212212212UqlEqlEqW)()(dd互所在处的电势的电场在为2121qqU同理：121UqW互写成对称形式：）（互21212121UqUqW电荷系的静电能相互作用能W互：把各点电荷由现在位置分散至相距无穷远的过程中电场力作的功。三个点电荷：31323212)(UqUUqW互)(21121212UqUq)()(1313133232322121UqUqUqUq)(21)(212321213121UUqUUq)(2113313UUq)(21332211UqUqUq推广至一般点电荷系：iiiUqW21互Ui：除qi外，其余点电荷在qi所在处的电势。313232212UqUqUq静电能W：把电荷无限分割并分散到相距无穷远时，电场力作的功。只有一个带电体qqUWWd21自多个带电体总静电能ijiiji互自二、连续带电体的静电能（自能）例：在每边长为a的正六边形各顶点处有固定的点电荷，它们的电量相间地为Q或–Q.1）试求因点电荷间静电作用而使系统具有的电势能W2）若用外力将其中相邻的两个点电荷一起（即始终保持它们的间距不变）缓慢地移动到无穷远处，其余固定的点电荷位置不变，试求外力作功量A.QQQ-Q-Q-QaiiiUqW21互1）Q，-Q所在处的电势aQaQaQUooo2434242UaQaQaQUooo2434242QUUQQUW33321)2532(4302aQ2)外力作功量A.QQQ-Q-Q-Qa初末余下四个点电荷系统的电势能aQQaQQaQQaQQaQQaQQW0000001434424344273242aQo无穷远处一对电荷间的电势能aQW0224)343(40221aQ.解：R3球面（均匀带电Q的球面）电势3034RQURR2球面电势与R3球面电势相同23034RRQUURR1球面电势2121200123111