两个直角三角形全等的判定

§11.2.5两个直角三角形全等的判定条件(斜边直角边或HL)克拉玛依市第五中学钱亮1.你现在了解几种三角形的全等判定方法•1.边边边简称“SSS”•2.两边夹角简称“SAS”•3.两角夹边简称“ASA”•4.两角及对边简称“AAS”复习提问想一想对于一般的三角形“SSA”不可以证明三角形全等ABCD但直角三角形作为特殊的三角形,会不会有自身独特的判定方法呢?2.两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？“边边角”分别对应相等是不能保证三角形全等的，那么当“角”为直角时“边边角”就成了“斜边直角边”，此时能否全等？引入提问两个直角三角形全等的判定条件(斜边直角边)§11.2.5做一做如图：已知两条不相等的线段，以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边，画一个直角三角形。8cm10cm直角边斜边动动手做一做画一个Rt△ABC,使得∠C=90°,一直角边CA=8cm,斜边AB=10cm.ABC10cm8cm动动手做一做步骤1：画∠MCN=90°;CNM动动手做一做步骤1：画∠MCN=90°;CNM步骤2：在射线CM上截取CA=8cm;A步骤1：画∠MCN=90°;步骤2：在射线CM上截取CA=8cm;动动手做一做步骤3：以A为圆心，10cm为半径画弧，交射线CN于B;CNMAB步骤1：画∠MCN=90°;CNM步骤2：在射线CM上截取CA=8cm;B动动手做一做步骤3：以A为圆心，10cm为半径画弧，交射线CN于B;A步骤4：连结AB;△ABC即为所要画的三角形Rt△ABC≌C′B′A′Rt△ABC10cm8cmA′B′C′10cm8cm斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”斜边、直角边公理(HL)ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△中AB=BC=∴Rt△ABC≌CBABACB(HL)C′B′A′Rt△∵∠C=∠C′=90°有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.符号语言：例题2如图:ＡＣ＝ＡＤ，∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°，求证：ＢＣ＝ＢＤ.ＡＢＣＤ证明：∵∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°在Ｒt△ＡＢＣ和Ｒt△ＡＢＤ中ＡＢ＝ＡＢ（公共边）ＡＣ＝ＡＤ（已知）∴Ｒt△ＡＢＣ≌Ｒt△ＡＢＤ（HL）∴ＢＣ＝ＢＤ（全等三角形对应边相等）ACD如图：已知,AC⊥BC，BD⊥AD,ＡＣ＝ＢＤ.求证:Ｒt∆ABC≌Ｒt∆BAD证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD在Ｒt∆ABC与Ｒt∆BAD中ＡＢ＝ＢＡ（公共边）ＡＣ＝ＢＤ（已知）∴Ｒt∆ABC≌Ｒt∆BAD（ＨＬ).例题1∴∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°（1）已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AD=CB求证：AD//CB.证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Ｒt△ＡＢＣ和Ｒt△ＡＢＤ中ＢD＝DＢ（公共边）ＡD＝CB（已知）∴Ｒt△ABD≌Ｒt△CDB（HL）∴∠ADB＝∠CBD(全等三角形对应角相等）∴AD//CB（内错角相等两直线平行）练习题（2）已知：如图∠B=∠E=90°,AC=DF,BF=EC求证：AB=DE.证明：∵∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°又∵FB=EC∴FB+FC=EC+FC∴BC=EF在Ｒt△ＡＢＣ和Ｒt△ＡＢＤ中BＣ＝EF（已证）ＡＣ＝ＡＤ（已知）∴Ｒt△ABC≌Ｒt△DEF（HL）∴AB＝DE（全等三角形对应边相等）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DEF之间有什么关系？实际运用如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE之间有什么关系？实际运用如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？DACBEFAC=DFBC=EF在Rt△ABC与Rt△DEF中，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）解：∠ABC+∠DFE=90°∴∠ABC+∠DFE=90°∴∠B=∠E(全等三角形对应角相等）又∵∠E+∠F=90°小结：•1、应用斜边直角边（H.L.）公理判定两个三角形全等，要按照公理的条件，准确地找出“对应相等”的边和角；•2、寻找使结论成立所需要的条件时，要注意充分利用图形中的隐含条件，如“公共边、公共角、对顶角等等”；•3、要认真掌握证明两个三角形全等的推理模式。作业：•课本P14练习第2题、•课本P16习题第7、8题.已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,求证：△ABC≌△DEFABCPDEFQ∠BAC=∠EDF,AB=DE,∠B=∠E分析：△ABC≌△DEFRt△ABP≌Rt△DEQAB=DE,AP=DQ能力提高ABCPDEFQ证明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高∴∠APB=∠DQE=90°在Rt△ABP和Rt△DEQ中{AB=DEAP=DQ∴Rt△ABP≌Rt△DEQ(HL)∴∠B=∠E(全等三角形的对应角相等)在△ABC和△DEF中{∠BAC=∠EDFAB=DE∠B=∠E(已证)∴△ABC≌△DEF(ASA)