43高数 分部积分法

1第三节由导数公式vuvuuv)(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1)v容易求得;容易计算.分部积分法第四章(Integrationbyparts)分部积分公式formulaofintegrationbyparts3分部积分法常见类型:(1)指数函数或三角函数与多项式的乘积.()d,()sind,()cosd...axpxexpxbxxpxbxx例如,(2)对数函数或反三角函数与多项式的乘积.()lnd,()sind,()cosd...pxxxpxarcbxxpxarcbxx例如,(3)指数函数与三角函数的乘积.例如,sind,cosd...axaxebxxebxx解题技巧:按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为u.v反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数4例1.求解:令,xu,cosxv则,1uxvsin∴原式xxsinxxdsinCxxxcossin思考:如何求提示:令,2xu,sinxv则原式5例2.求.dlnxxx解:令,lnxuxv则,1xu221xv原式=xxln212xxd21Cxxx2241ln216例3.求.darctanxxx解:令,arctanxuxv则,112xu221xv∴原式xxarctan212xxxd12122xxarctan212xxd)111(212xxarctan212Cxx)arctan(217例4.求解:令,arccosxu1v,则,211xuxv原式=xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1(222121xxxxarccosCx218例5.求解:令,coslnxuxv2cos1,则,tanxuxvtan原式=xxcoslntanxxdtan2xxcoslntanxxd)1(sec2xxcoslntanCxxtan9例6.求.dsinxxex解:令,sinxuxev,则,cosxuxev∴原式xexsinxxexdcos再令,cosxuxev,则,sinxuxevxexsinxxexexxdsincos故原式=Cxxex)cos(sin21说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.10例.求与sindaxebxxcosdaxebxx11例7.求解:令,22axu,1v则,22axxuxv22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa∴原式=2221axxCaxxa)(ln2222xaxd2212例8.求解:令22,uxa,1v则22,xxauxv22xxa222dxxax22xxa22222()dxaaxax22xxa22dxax22d2xxaa∴原式=2212xxa222ln()2axxaC22dxax13总结22daxx2212xax2arcsin2axaC2212xxaCaxxa)(ln222222dxax2212xxa222ln()2axxaC14有了以上的六个基本积分公式,我们就可以计算以下的两类不定积分:方法:配元,化为标准型,然后根据上述公式即可得.2d(0)xaaxbxc2d(0)axbxcxa15例.求3secxdx16例11.求解:令,tx则,2txttxd2d原式tettd2tet(2Cxex)1(2,tutev)teC令17例9.求解:令,)(122naxu,1v则,)(2122naxxnuxvnIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得递推公式nnnIannaxxanI22221212)(21222)(aaxnaxx)(2218说明:递推公式已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(2119例10.证明递推公式证:xxxInnd)1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注:或20说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加C)例43)对含自然数n的积分,通过分部积分建立递推公式.21例12.求.dxI23)1(2x解法1先换元后分部令,arctanxt即,tantx则teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctan22xeIxdarctan23)1(2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1(11arctan2xexxICexxIxarctan2121解法2用分部积分法xexarctan211xd23)1(2xxexarctan23例13.已知的一个原函数是求解:xxfxd)()(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说明:此题若先求出再求积分反而复杂.xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos224vu内容小结分部积分公式xvuvuxvudd1.使用原则:xvuvd易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三”,前u后v3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式4.计算格式:vu25练习.求xxId)ln(sin解:令则texexttdd,tteItdsintetsintetcosttetettdcossintsinteIttet)cos(sinCtteIt)cos(sin21Cxxx)]cos(ln)[sin(ln21可用表格法求多次分部积分26uexexuudd,练习.求解:令则原式,lnxuue34uueudueuud444uue434u212uu24240ue441ue4412ue4413ue4414ue4415原式=ue4414u3u243uu83323CCxxxxx323ln83ln43lnln41234427思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?xxxdsincosxxxdsincos1,1dsincosdsincosxxxxxx得0=1答:不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.Cxsinln282.求对比P370公式(128),(129)提示:)cos(bxa)sin(bxaa)cos(2bxaaxkek21xkexkek129作业P2131---2430备用题.1.求不定积分解：方法1(先分部,再换元))1(dxe令1,xue则211u4(arctan)uuC431方法2(先换元,再分部)令1,xue则故)1ln(22uu11322.求解:原式=1cos(1)sind(1).nnxxxn1(coscossinsin)sindnnxxnxxxx1coscossinsinsindnnnxxxdxnxxx1cossinsinsindnnnxdxnxxxn11cossinsindcosnnnxxxnxnnsinsinnnxxdx1cossinnnxxCn333.求解:令arctan,tx则原式=4tan(tan)secttdtt24tansecsectttdtt1sin22ttdt1cos24tdt11cos2cos244tttdt11cos2sin248tttC22211arctan414(1)xxxCxx22arctand.(1)xxxx34求下列不定积分：221.tan11xxdxx12.1sindxxlntan3.sincosxdxxx2414.1xdxx4415.sincosdxxx21ln6.(ln)xdxxx27.1dxxx3522221.tan1tan11ln|cos1|,2111sin1sin1cos2.tansec,2221sin(1sin)(1sin)1sincoscoslntanlntan123.tanlntan(lntan)(lntan)sincostan2xxdxxdxxCxxxdxdxdxdxdxxxCxxxxxxxxdxdxxdxxxxx,211111114.()[]4222221212212121()()22222222arctan2()arctan2(),2222422sectan115.(tan)tan44444sincos1tantan11CxdxdxdxdxxxxxxxxxxCdxxxudxdxuxduxxxxu利用上一.....1ln121116.()22(ln)()11111=-ln,cos11(sincos)7.sinsincos22sincos21xtttttttdxxeedtetdtetdtedtetdttxxtettttetetdtetdtetxxdxtdttxtdtdtttttxx题的结论1(ln|sincos|)212(arcsinln|1|)2tttCxxxC