第1讲 等差数列、等比数列

专题四数列第1讲等差数列、等比数列1.an与SnSn=a1+a2+…+an,2.等差数列等比数列定义an-an-1=常数（n≥2）通项公式an=a1+（n-1）dan=a1qn-1（q≠0))2(1naann常数.2，，1,11nSSnSannn判定方法（1（2）中项公式法：2an+1=an+an+2{an}为（3）通项公式法：an=pn+q(p、q为常数){an}为等差数列（4）前n项和公式法：Sn=An2+Bn（A、B为常数）{an}为等差（5）{an}等比数列，an0{logaan}为等差数列（1（2=an·an+2(n≥2)(an≠0){an}为等比（3an=c·qn(c、q均是不为0常数，n∈N*){an}（4）{an}{}为等比数列(0a≠1)21nanaa性质（1）若m、n、p、q、∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq（2）an=am+（n-m）d（3）Sm,S2m-Sm,S3m-S2m，…仍成等差数列（1）若m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，am·an=ap·aq（2）an=amqn-m（3）等比数列依次每n项和（Sn≠0）仍成等比数列前n项和112)(naaanSnndnn2)1(qqaSqnn1)1(,1)1(1qqaan111,1)2(naSqn3.求和先研究数列的通项，根据通项选择方法，化归为基本数列求和.（1）若cn=an·bn，{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则用错位相减法.（2）若cn=an+bn，则用分组求和，其中分组的方法比较灵活.（3）裂项相减法形如an=等.（4）倒序相加法.)12)(12(1nn一、等差数列的通项及前n项和例1已知{an}是一个等差数列，且a2=1,a5=-5.（1）求{an}的通项an（2）求{an}前n项和Sn的最大值.思维启迪由a2及a5的值，可求出等差数列{an}的首项a1及公差d，从而求出通项公式an.再由Sn的公式可求出Sn的表达式，利用二次函数求最值即可求出Sn的最大值.解（1）设{an}的公差为d,所以an=a1+（n-1）d=-2n+5.（2）Sn=na1+=-n2+4n=4-（n-2）2.所以当n=2时，Sn取得最大值4.探究提高（1）涉及等差数列的有关问题时往往用待定系数法“知三求二”进而解决问题；（2）等差数列前n项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值；有时利用数列的单调性（d0,递增；d0,递减）；（3）等差数列的性质：设m、n、p、q为自然数，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq..2，3，54，1111dadada解得dnn2)1(变式训练1（2009·安徽理，5）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）A.21B.20C.19D.18解析∵(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)=3d,∴99-105=3d,∴d=-2.又∵a1+a3+a5=3a1+6d=105,∴a1=39.∴Sn=na1+=-n2+40n=-(n-20)2+400.∴当n=20时，Sn有最大值.dnn2)1(ndand2212B二、等比数列的通项及前n项和例2（2009·枣庄模拟）设数列{an}是公差为d的等差数列，a3+a5=2,S20=a1+a2+…+a20=150，又bn=(n∈N*).（1）求a1、d（2）求证：{bn}是等比数列，并求bn（3）设k为某个自然数（k≠0），求bkbk+1+bk+1bk+2+…+bn-1bn的值.思维启迪（1）用等差数列的基本量；（2）用等比数列的定义判断；（3）先判断数列{bn-1bn}为等比数列.122nnaa（1）解由题设（2）证明bn=,bn+1=,=.∵3an+1-2an+2-an=3(an+d)-2(an+2d)-an=-d=-1,∴,∴{bn}是等比数列.∵b1=1,∴{bn}=.，150220)(，220153aaaa.1，2，150)192(10，262111dadada解得即12na22nannbb1211nnbb121n122nnaa132na22nana（3）解由（2）得bkbk+1=,∴∴bkbk+1,bk+1bk+2,…,bn-1bn…是首项为，公比为∴bkbk+1+bk+1bk+2+…+bn-1bn12)21(k，)21(2121mmmmbbbb12)21(k41411)41(1)21(12knk.)21()21(341212nk探究提高（1）判断数列{bn}是否为等比数列，可用定义：为常数.也可用=bn-1·bn+1来判断，但要注意bn≠0.（2）求等比数列的前n①当q≠1时，用公式Sn=②当q=1时，用公式Sn=na1.qbbnn12nbqqan1)1(1变式训练2（2009·山东文，20）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*,点（n,Sn）均在函数y=bx+r(b0且b≠1，b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值；（1）证明由题意，Sn=bn+r,当n≥2时，Sn-1=bn-1+r.所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).由于b0且b≠1,所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列.又a1=b+r,a2=b(b-1),(2)解三、等差、等比数列的综合问题例3将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10………………………………记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1.Sn为数列{bn}的前n项和,且满足).2(122nSSbbnnnn（1）证明：数列成等差数列,并求数列{bn}的（2）上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a81=-时,求上表中第k（k≥3）行所有项的和.思维启迪（1）巧妙地对变形得到是等差数列，进而求出bn.（2）通过此表的分析得出a81在表中的位置，即确定首项和公比，求出第k行的所有项的和.nS1914)2(122nSSbbnnnnnS1（1）证明由已知,当n≥2时,,又Sn=b1+b2+…+bn,所以,即=1,所以,又S1=b1=a1=1.所以数列是首项为1,公差为的等差数列.由上可知所以,当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=.122nnnnSSbb1)()(2211nnnnnnSSSSSSnnnnSSSS11)(221111nnSSnS121.12,21)1(2111nSnnSnn即)1(2212nnnn因此,（2）解设上表中从第3行起,每行的公比都为q,且q0.因为1+2+…+12==78,所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项,故a81在表中第13行第3列,因此a81=b13·q2=-.又b13=-,所以q=2.记表中第k（k≥3）行所有项的和为S,则S=，)1(2，1nnbnn=1,n≥2.213129141413221)21()1(21)1(kkkkkqqb).3)(21()1(2kkkk探究提高数列项的变化呈规律性，这是等差、等比数列的特征，在高考中，这种变化的规律性经常用数表或图形给出，也可以是给出信息根据新信息解题，对考查学生的创新能力提出了较高的要求.新课标教材的学习，十分重视创新、立意鲜明、背景鲜明、设问灵活.解这类问题要先读懂题意，从题目中获取有用信息，然后根据相关知识作进一步的演算和推理，综合运用新的信息和数学知识分析，解决新情境问题.变式训练3（2009·全国Ⅱ理，19）设数列{an}前n项和为Sn,已知a1=1.Sn+1=4an+2.（1）设bn=an+1-2an，证明：数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.解（1）由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3.又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-（4an+2）=4an+1-4an,于是an+2-2an+1=2（an+1-2an)，即bn+1=2bn.因此数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.（2）由（1）知等比数列{bn}中b1=3,公比q=2,所以an+1-2an=3×2n-1,于是,因此数列{}是首项为,公差为的等差数列,所以an=（3n-1）·2n-2.432211nnnnaanna22143，414343)1(212nnann1.在等差或等比数列中，已知五个元素a1,an,n,d(或q），Sn中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”.本着化多为少的原则，解题时需抓住首项a1和公差d(或公比q).2.数列{an}（1）证明数列{an}①利用定义，证明an+1-an（n∈N*②利用中项性质，即证明=an-1+an+1(n≥2).（2）证明{an}①利用定义，证明(n∈N*)②利用等比中项，即证明=an-1an+1(n≥2).nnaa1na22na3.（1）等差数列{an}中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq；等比数列{an}中，若m+n=p+q,则aman=apaq（2）在等差数列{an}中，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,Skn-（k-1）n,…成等差数列，其中Sn为前n项的和，且Sn≠（n∈N+在等比数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,Skn-S(k-1)n,…成等比数列，其中Sn为前n项的和，且Sn≠0(n∈N+).（3）在等差数列{an}中，有S2n-1=(2n-1)an.事实上，对于等差数列{an},有（4）对于等差数列{an}①若项数为2n（n∈N*）,S2n=n（an+an+1）（an,an+1S偶-S奇=nd；；②若项数为2n-1（n∈N*）,S2n-1=（2n-1）a中，S奇-S偶=a中，..)12(2))(12(12112nnnanaanS1nnaaSS偶奇1nnSS偶奇一、选择题1.（2009·重庆文，5）设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3,a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（）A.B.C.D.解析∵a1,a3，a6成等比数列，则(a1+2d)2=a1(a1+5d),a1d=4d2,∴d=,∴Sn=na1+A4742nn3532nn4322nnnn221.474422)1(22nnnnndnn2.（2009·辽宁理，6）设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,等于（）A.2B.C.D.3解析由题意知∴q3=2.36SS69SS3738，31111)1(1)1(336316136qqqqqaqqaSS.374181)(1)(1111)1(1)1(233369619169qqqqqqaqqaSSB3.（2009·菏泽调研）在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为（）A.20B.22C.24D.-8解析∵a1+3a8+a15=5a8=120∴a8=242a9-a10=2（a8+d）-（a8+2d=a8=24.故选C.C4.已知等比数列{an}中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A.（-∞，-1B.（-∞，0）∪（1，+∞）C.［3，+∞）D.（-∞，-1］∪［3，+∞）解析设等比数列的公比为q,∵a2=1,∴a1=,a3=a2q=q.∵S3=+1+q,∴当q0时，S3≥3(q=1时取等号)；当q0时，S