20线性代数第四章线性方程组

第四章线性方程组１、解向量设有n元齐次线性方程组111122121122221122000nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax若记（1）一、齐次线性方程组解的性质111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaanxxxx21则上述方程组（1）可写成向量方程.Ax01112211,,,nnxxx若11211nx称为方程组（1）的解向量，它也就是向量方程的解．２、齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则0Ax21x也是的解.0Ax（2）若为的解，为实数，则0Axk1kx0Ax也是的解．0Ax称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．易知，方程组的全体解向量构成一个向量空间，则使得方程成立，0Ax0Ax0)(2121AAA0)()(11AkkA21，1１、基础解系的定义二、基础解系及其求法12,,,s基础解系，则方程组的通解可表示为：0Ax方程组的解空间中，它的某一个部分组0Ax②线性相关.12,,,,,s①线性无关；12,,,s则称为齐次线性方程组的一组基础解系.12,,,s满足：如果为齐次线性方程组的12,,,s0Ax1122,ssxkkk其中为任意实数.12,,,skkk２、线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵Ａ的秩为ｒ，量线性无关．因此，Ａ的前ｒ个行向0,rD又任意ｒ+１个行向量线性相关，所以齐即（１）中的前ｒ个方程与（１）同解.rEBAOO（２）并不妨设Ａ的左上角ｒ阶子式次线性方程组的ｍ-ｒ个方程多余.所以对系数矩阵Ａ进行初等行变换，将其化为最简形11111221,1122,0rrnrnrrrrrrnrnxbxbxbxAxxbxbxbx所以即rnrrrrnbbbbbbB,21,11211其中（３）11111221,22112222,1122,1122rrnrnrrnrnrrrrrrnrnrrrrnnxbxbxbxxbxbxbxxbxbxbxxxxxxx于是，（１）的全部解就可以写成其中12,,,rrnxxx是任意实数.根据向量的运算法则，（３）可以整理成为：令（４）为（４）1122nrnrkkk（５）则（５）就为方程组的通解.0Ax如果12,,,nr为齐次线性方程组（１）的一个基础解系.1212rrrnxxxxxx112111100rrbbbx122222010rrbbbx1,2,,001nrnrrnrnbbbx１、证明12,,,nr线性无关.由于ｎ-ｒ个ｎ-ｒ维单位列向量100010,,,001线性无关，所以ｎ-ｒ个ｎ维向量12,,,nr２、证明解空间的任一解都可由12,,,nr线性表示.设11Trrnx为某一解向量，1122rrnnr再构造12,,,nr的一个线性组合：rn,,,210Ax0Ax由于是的解，故η也是的解.亦线性无关.下证12,,,nr是线性方程组的一组基础解系.1122rrnnr122rrrnccc１易知：方程组的前ｒ个未知量可由后ｎ－ｒ个未知量唯一确定.112111100rrbbb122222010rrbbb1,2,,001nrnrrnrnbbb112.rrrncc.c,,crr11112rrrn而；.故1122.rrnnr即所以是齐次线性方程组解空间的一个基.12,,,nr说明１、解空间的基不是唯一的．２、解空间的基又称为方程组的基础解系(不唯一)．３、任ｎ-ｒ个线性无关的解向量构成基础解系．定理ｎ元齐次线性方程组的全体解所构成的0mnAx集合Ｓ是一个向量空间，当系数矩阵的秩为ｒ时，解空间Ｓ的维数为ｎ-ｒ.当时，线性方程组必有含ｎ-ｒ个向量的基()RAn解系（此时解空间只含有零向量，称为０维向量空间）当时，线性方程组只有零解，故没有基础()RAn础解系，此时线性方程组的解可以表示为12,,,nr1122nrnrkkk其中为任意实数，解空间可以表示为12,,,nrkkk112212,,,nrnrnrSxkkkxkkkR2(1)r132220150213例１求下列齐次线性方程组的基础解系与通解.12341342343220250230xxxxxxxxxx三、应用举例解方程组的系数矩阵212rr06390213063900000213122rr23rr1104313rr1242232444423xxxxxxxxxx所以121410,;2301从而基础解系为通解为1122.xkk132220150213A解1241234513451234532503236025306440xxxxxxxxxxxxxxxxx把系数矩阵Ａ用初等行变换变成为171002231010440001200000例２求下列齐次线性方程组的基础解系与通解.32050323612015316414AERT135235334555172231442xxxxxxxxxxxx所以1217223144,;100201基础解系为所以线性方程组的通解为112212,.xkkkkR例３齐次线性方程组123123123000xxxxxxxxx只有零解，则λ满足（）.12)1(D系数行列式例４设ｎ阶矩阵Ａ的各行元素之和为0，且秩为0Ax的通解为_______________.ｎ－１，则线性方程组111Tk分析：()1,RAn0Ax则的基础解系只有一个向量.0Ax设的第ｉ个方程为11220,iiinnaxaxax120,iiinaaa又矩阵Ａ的各行元素之和为0，即121nxxx为它的一个解向量.0Ax的通解为111.Tk例５设三阶方阵Ｂ≠０，且Ｂ的每一列均为方程的解，1231231232202030xxxxxxxxx（１）求λ.（２）证明0.B解（１）因为Ｂ≠０，且Ｂ的每一列均为方程的解，所以方程组有非零的解，即方程组的系数行列式等于零.12221311D10.RBB01.（２）当时，方程组的矩阵为1122211311A100011000所以2RA则线性方程组基础解系所含向量的个数为3－2＝1个，550450221１、设n元非齐次线性方程组11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb若记（1）一、非齐次线性方程组解的性质111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa12,nxxxx则上述方程组（1）可写成向量方程.Axb12mbbbb（2）若为的解，0AxAxb为的解，1122.nnxxxb又可记非齐次方程组不一定有解，若有解，则称方程组相２、非齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则Axb12x是其导出组的解.0Ax（２）容，若无解，则称方程组不相容.与非齐次方程组称为该非齐次方程组的导出组.Axb0Ax也是的解．xAxb则也是的解．Axb（3）若都为的解，则Axb对应的齐次方程组0)(2121bbAAAbbAAA0)(bkkbkAk21An)(21其中21，k,,21，kk21其中为其导出组的通解，1122nrnrkkk３、非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解为Axb1122.nrnrxkkk为非齐次线性方程组的任意一个特解.４、非齐次线性方程组有解的几个等价命题1212,,,,,,,nnRRb线性方程组有解，则以下命题等价：bAx12,,,n向量ｂ可由向量组线性表示.12,,,n向量组等价.与向量组12,,,,nb设ｎ元非齐次线性方程组的系数矩阵为Ａ，增广RARBn１）线性方程组有唯一解bAx定理矩阵为B=(Ab)也可记为，则RARBn２）线性方程组有无穷解bAxRARB３）线性方程组无解bAx12:,,,,nA推论设12:,,,,nBb由向量组Ａ线性表示，但表达式不唯一；时，向量ｂ可由向量组Ａ线性RARBn当表示，且表达式唯一；时，向量ｂ不可由向量组Ａ线性表示.RARBn时，向量ｂ可当RARB当A例１求解下列非齐次线性方程组二、应用举例123412312341242212482242333664xxxxxxxxxxxxxx12211248022423336064B解方程组的增广矩阵为1221100210~0000100000()(),RARB所以线性方程组无解.ERT1010401103000130000034,RARB因所以线性方程组有无穷多解.123412341234123422244622436979xxxxxxxxxxxxxxxx例２求解下列非齐次线性方程组解方程组的增广矩阵为21112112144622436979B~ERT1323334433xxxxxxx1234xxxxx即14131003c其中ｃ为任意常数.例３向量组12,10a221