80振动

1第二部分振动§9-1简谐振动§9-2旋转矢量§9-3单摆和复摆§9-4简谐振动的能量§9-5简谐振动的合成2§9-1简谐振动一、简谐振动(simpleharmonicvibration)的基本特征以弹簧振子为例讨论，弹簧振子是典型的简谐振动xxMO弹簧的弹力kxF-=根据牛顿第二定律有kxtxmmaF-=dd==22所以0dd222xtxmk2其解)cos(tAx（以后只取此式的形式）或)sin(tAx3任何物理量x的变化规律若满足方程式,并且ω是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化过程就是简谐振动。T6-0.exe0dd222xtx二、描述简谐振动的特征量1.振幅A振动物体离开平衡位置的最大幅度在SI制中，单位为m(米)2.周期和频率周期T振动物体完成一次振动所需的时间频率n振动物体在1秒内所完成振动的次数圆频率ω振动物体在1秒内所完成振动的次数4三者关系T1nTπ2π2n在SI制中,单位分别为周期S(秒)、频率Hz(赫兹)、角频率rad·s-1(弧度/秒)例1：有一劲度系数为32.0Nm-1的轻弹簧,放置在光滑的水平面上，其一端被固定,另一端系一质量为500g的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡位置10.0cm处，然后将物体由静止释放,物体将在水平面上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动的位移、速度和加速度与时间的关系。3.相位和初相相位T+初相5解：设物体沿x轴作简谐振动T6-1.exeA=10.0cm=0.100m1-1srad008srad5000032...mk当t=0时，x=A，cos=1，即=0所以x=0.100cos8.00tm速度、加速度的最大值为vm=A=8.00×0.100ms1=0.800ms1am=2A=(8.00)2×0.100ms2=6.40ms2v=0.800sin8.00tms1a=6.40cos8.00tms2所以6例2：已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写出该振动的位移与时间的关系。P2.0-2.0x/cmt/s-4.04.01O解：由图知A=4.0×102m当t=0时，0,2=00vAx由式x0=Acosv0=Asin{解得3)3π(cos100.42tx所以m又由曲线知当t=1s时,x=0,代入上式得0401032.cos()m7yMOPxωt§9-2旋转矢量简谐振动可以用旋转矢量来描绘t=0时刻,投影点位移cos0Ax在任意时刻,投影点的位移)cos(tAx简谐振动曲线如图以上描述简谐振动的方法称为简谐振动的矢量图解法.T6-2.exeAtGHIJKLMNTT因0即()2356radsrads-1-1简谐振动的表达式为)3π65(cos100.42tx所以238§9-4简谐振动的能量以弹簧振子为例x=Acos(t+)v=Asin(t+)EmvmAtk12122222sin()EkxkAtp1212222cos()由以上两式可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所以动能也达到最大值。T6-4.exe9EEEmAtkAtkp121222222sin()cos()总能量因为2km/EmAkA1212222所以由此式可见,尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化,但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。由公式EmvkxkA121212222得vkmAxAx()2222此式表明，在平衡位置处，x=0,速度为最大；在最大位移处，x=A,速度为零。10例3：长为l的无弹性细线，一端固定在A点，另一端悬挂质量为m的物体。静止时，细线沿竖直方向，物体处于点O，是系统的平衡位置。若将物体移离平衡位置，与竖直方向夹一小角度，由静止释放,物体就在平衡位置附近往返摆动,称为单摆。证明单摆的振动是简谐振动，并分析其能量。hOAθmgsinθmgcosθgmf解:物体受和两个力作用,gmf根据牛顿第二定律得mltmgdd22sin当偏角很小时，sin所以mltmgdd2211即dd2220t其中2gl解微分方程得=0cos(t+)这说明在偏角很小时,单摆的振动是简谐振动单摆系统的机械能包括两部分:Emvmlmltk1212122220222()sin()动能势能Ep=mgh=mgl(1-cos)将cos展开cos!!!1246246因为很小,上式只取前两项12所以Emglmgltp12122022cos()因为2gl所以Emglml1212022202上式表示,尽管在简谐振动过程中，单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。总能量pkEEE)(cos)(sintlgmtlmE22022202212113例下面两个运动是否简谐振动？简谐振动动力学判据1）是2）否14例一细圆环质量为m,半径为R,挂在墙上的钉子上.求它的微小摆动的周期.对悬点O圆环的转动惯量为对转角圆环的力矩为由转动定理可得15例一质点在x轴上作简谐振动,选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点,经过2s后质点第一次经过B点,再经过2s后质点第二次经过B点,若质点在A,B两点有相同的速率,且AB=10cm.求质点的振动方程以中点为坐标原点,x轴指向右方振动方程162A1A21xyox2x1§9-5简谐振动的合成一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成设有两个同频率的简谐振动)cos(111tAx)cos(222tAx合振动)cos()cos(221121tAtAxxx由矢量图得)cos(tAx（仍为同频率谐振动）xA而)cos(212212221AAAAAarctanAAAA11221122sinsincoscos17讨论：1.,2,1,0π212kk2.,2,1,0π)12(12kk合振幅减小，振动减弱21AAA合振幅最大，振动加强21AAAπ123.一般情况为任意值2121AAAAA2AA1A2AA1A2AA1AA1A2A1A2A18例两个同方向同频率的简谐振动其振动的表达式分别为求合振动的振幅和初相振幅初相19例一质点同时参与了三个简谐振动A1A3A2三个矢量和为零求合振动20例两个同方向简谐振动的振动方程分别为位相差合振幅合振动的初相合振动的方程求合振动方程21例三个同方向同频率的简谐振动x1=0.08cos(314t+/6),x2=0.08cos(314t+/2),x3=0.08cos(314t+5/6),.求(1)合振动的角频率,振幅,初相及表达式；(2)合振动由初始位置运动到所需最短时间。AA1A2A3ox(1)合振动的频率合振动的振幅合振动的初相振动的表达式(2)矢量A第一次转到转过的角度所需时间22xyO二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成两简谐振动分别为)cos(1111tAx)cos(2222tAx合振动)cos()cos(22211121tAtAxxx合振动不再是简谐振动，而是一种复杂振动矢量图解法[如图]A1A2A1ω2ω1AA2A2ω1ω由矢量图得合振动的振幅为AAAAAt12221221212cos[()()]23由于两个分振动频率的微小差异而产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象。T6-8.exe合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。拍频为12nnn三角函数法设两个简谐振动的振幅和初相位相同合振动为)2cos()2cos(2)cos()cos(12122121ttAtAtAxxx)cos(11tAx)cos(22tAx24拍的振幅为)cos(tA2212振幅的周期为121222)(T拍频为nnn122121T拍的振动曲线如右图*三、两个互相垂直的简谐振动的合成*四、振动的分解25*§9-6阻尼振动、受迫振动和共振一、阻尼振动(dampedvibration)振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。以物体受流体阻力作用下的振动为例阻力为物体的振动方程txvfdd0dddd22xktxtxm令则有,,mmk220dddd220220xtxtx式中ω0称为振动系统的固有角频率，β称为阻尼常量。26三、共振(resonance)当驱动力的角频率接近系统的固有角频率时，受迫振动振幅急剧增大的现象，称为共振。振幅达到最大值时的角频率称为共振角频率。对(7)式求极大值得共振角频率为可见，系统的共振角频率既与系统自身的性质有关，也与阻尼常量有关。将(8)式代入(7)式得共振时振幅峰值为220r2hA220r2(8)